35 ( 4{ }^{\text {a }} Ed). As gotas de água da chuva caem verticalmente com velocidade de módulo v. Um automóvel percorre uma estrada retilínea com uma velocidade 2 v. Determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade das gotas de água em relação a um observador situado dentro deste automóvel.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade das gotas de chuva vistas por um observador que está dentro do automóvel. As informações dadas são:
  • As gotas caem verticalmente, com velocidade de módulo \\ v (peguei isso do enunciado).
  • O automóvel se move numa estrada retilínea com velocidade de módulo \\\ 2v (peguei isso do enunciado).
  • Quero a velocidade das gotas em relação ao observador dentro do automóvel (ou seja, velocidade relativa gotas/automóvel).

Passo 2

Vou escolher um sistema de coordenadas simples para trabalhar (isso facilita visualizar e calcular):
  • eixo x horizontal paralelo à estrada; sentido positivo x é o mesmo do movimento do carro (para a frente do carro).
  • eixo y vertical; sentido positivo y para cima.
Com essa escolha, escrevo as velocidades relativas ao solo (terreno) em componentes:
  • velocidade das gotas em relação ao solo: as gotas caem verticalmente para baixo com módulo \\ v, logo suas componentes são
\vec{v}_{\text{gotas/solo}} = (0,\,-v).
  • velocidade do carro em relação ao solo: o carro vai para frente com módulo \\\ 2v, logo
\vec{v}_{\text{carro/solo}} = (2v,\,0).

Passo 3

Vou usar a fórmula de velocidade relativa (explico-a): a velocidade de um objeto A vista por um observador B é a velocidade de A em relação ao referencial fixo (solo) menos a velocidade de B em relação ao solo. Em símbolos:
\vec{v}_{\text{gotas/car}} = \vec{v}_{\text{gotas/solo}} - \vec{v}_{\text{carro/solo}}.
Intuição: se você está num carro em movimento, aquilo que você vê tem a velocidade do objeto diminuída (ou aumentada) pelo movimento do carro — por isso subtrai a velocidade do observador.

Passo 4

Substituo as componentes que escrevi no Passo 2 na fórmula:
\vec{v}_{\text{gotas/car}} = (0,\,-v) - (2v,\,0) = (0-2v,\,-v-0) = (-2v,\,-v).
Interpretação componente a componente:
  • componente horizontal -2v: visto do carro, a chuva tem velocidade horizontal para trás (oposta ao sentido do carro) de módulo \\\ 2v.
  • componente vertical -v: a chuva continua tendo velocidade para baixo de módulo \\ v.

Passo 5

Agora calculo o módulo (norma) dessa velocidade relativa usando o teorema de Pitágoras para as componentes perpendiculares:
\left|\vec{v}_{\text{gotas/car}}\right| = \sqrt{(-2v)^2 + (-v)^2} = \sqrt{4v^2 + v^2} = \sqrt{5v^2} = v\sqrt{5}.
Explicação rápida: o módulo de um vetor (a,b) é \sqrt{a^2+b^2}; aqui a=-2v e b=-v.

Passo 6

Para achar a direção, encontro o ângulo que o vetor forma com a horizontal. Posso calcular o ângulo agudo entre o vetor e a horizontal tomando a razão entre a componente vertical absoluta e a componente horizontal absoluta:
\tan\theta = \frac{|\text{componente vertical}|}{|\text{componente horizontal}|} = \frac{v}{2v} = \frac{1}{2}.
Logo
\theta = \arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Esse ângulo \theta é o ângulo de inclinação em relação à horizontal; numericamente \theta \approx 26,6^\circ (arredondando).

Passo 7

Interpreto o sentido do vetor \vec{v}_{\text{gotas/car}} = (-2v,-v):
  • O sinal negativo na componente x mostra que, para o observador no carro, as gotas aparentam mover-se para trás (sentido oposto ao movimento do carro).
  • O sinal negativo na componente y mostra que as gotas continuam se movendo para baixo.
    Portanto o sentido é “para trás e para baixo” — mais precisamente, a velocidade relativa aponta inclinada para baixo em direção à traseira do carro, formando o ângulo \theta=\arctan(1/2) abaixo da horizontal apontando para trás.

Passo 8

Interpretação física final (para fixar): um passageiro dentro do carro verá a chuva vir não verticalmente, mas inclinada para trás; a rapidez com que as gotas parecem vir é maior que v: é v\sqrt{5}. Isso explica por que, quando você anda rápido na chuva, as gotas parecem vir mais de frente/inclinadas — o movimento do carro “somou” uma componente horizontal à observada.

Resposta

Módulo: \;v\sqrt{5}
Direção: faz um ângulo \theta=\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\approx 26{,}6^\circ abaixo da horizontal
Sentido: apontando para trás (oposto ao movimento do carro) e para baixo

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