Um pulso de onda propaga-se ao longo de um fio na direção x positiva a
. Qual será a velocidade do pulso se
dobrar a tensão mantendo constante o comprimento e a massa por unidade de comprimento?
dobrar a tensão mantendo constante o comprimento e a massa por unidade de comprimento?
Passo 1
O enunciado diz que um pulso de onda desloca-se ao longo de um fio na direção
positiva com velocidade inicial
. Em seguida a tensão do fio é dobrada, mantendo-se constante o comprimento e a massa por unidade de comprimento. A pergunta é: qual será a nova velocidade do pulso depois de dobrar a tensão? \n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
- Velocidade inicial:
. \n - A tensão é duplicada:
. \n - A massa por unidade de comprimento (densidade linear)
permanece constante. \n - Queremos encontrar a nova velocidade
.
Passo 2
Conceito importante que precisamos usar: a velocidade de uma onda transversal numa corda tensa depende da tensão e da massa por unidade de comprimento segundo a relação
Aqui:
-
é a velocidade da onda (em ), \n -
é a tensão na corda (força, em ), \n -
é a massa por unidade de comprimento da corda (em ). \n
Explicando de onde vem essa fórmula, de forma simples e intuitiva: pegue um pequeno trecho da corda de comprimento. A massa desse trecho é . Se a corda estiver deslocada transversemente, as componentes verticais das tensões nas extremidades produzem uma força resultante proporcional à curvatura local da corda (aproximadamente ). Pela segunda lei de Newton, essa força resultante é igual à massa do trecho vezes sua aceleração transverse . Cancelando aparece a equação de onda básica
onde
. Assim obtemos a fórmula indicada. Em palavras: mais tensão → maior força restauradora → onda vai mais rápido; maior
→ mais inércia por comprimento → onda vai mais devagar.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula aos dois estados (antes e depois): \n
Para o estado inicial,
Para o estado inicial,
Para o estado com tensão dobrada,
Substituindo
obtemos
Passo 4
Agora substituímos o valor numérico dado: \n
Se quisermos uma aproximação decimal,
, logo
Passo 5
Interpretação rápida para a prova: sempre que a tensão na corda for multiplicada por um fator
, a velocidade da onda é multiplicada por
. Aqui
, então a velocidade aumenta em aproximadamente
. Isso é um jeito útil e rápido de checar respostas numéricas sem refazer contas longas.