Um pulso de onda propaga-se ao longo de um fio na direção x positiva a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual será a velocidade do pulso se
dobrar a tensão mantendo constante o comprimento e a massa por unidade de comprimento?

Passo 1

O enunciado diz que um pulso de onda desloca-se ao longo de um fio na direção x positiva com velocidade inicial 20\\ \mathrm{m/s}. Em seguida a tensão do fio é dobrada, mantendo-se constante o comprimento e a massa por unidade de comprimento. A pergunta é: qual será a nova velocidade do pulso depois de dobrar a tensão? \n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
  • Velocidade inicial: v_1 = 20\\ \mathrm{m/s}. \n
  • A tensão é duplicada: T_2 = 2T_1. \n
  • A massa por unidade de comprimento (densidade linear) \mu permanece constante. \n
  • Queremos encontrar a nova velocidade v_2.

Passo 2

Conceito importante que precisamos usar: a velocidade de uma onda transversal numa corda tensa depende da tensão e da massa por unidade de comprimento segundo a relação
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Aqui:
  • v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s}), \n
  • T é a tensão na corda (força, em \mathrm{N}), \n
  • \mu é a massa por unidade de comprimento da corda (em \mathrm{kg/m}). \n
    Explicando de onde vem essa fórmula, de forma simples e intuitiva: pegue um pequeno trecho da corda de comprimento \Delta x. A massa desse trecho é \mu\,\Delta x. Se a corda estiver deslocada transversemente, as componentes verticais das tensões nas extremidades produzem uma força resultante proporcional à curvatura local da corda (aproximadamente T\,\partial^2 y/\partial x^2 \cdot \Delta x). Pela segunda lei de Newton, essa força resultante é igual à massa do trecho vezes sua aceleração transverse \mu\,\Delta x\,\partial^2 y/\partial t^2. Cancelando \Delta x aparece a equação de onda básica
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2},
onde v^2 = T/\mu. Assim obtemos a fórmula indicada. Em palavras: mais tensão → maior força restauradora → onda vai mais rápido; maior \mu → mais inércia por comprimento → onda vai mais devagar.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula aos dois estados (antes e depois): \n
Para o estado inicial,
v_1 = \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}.
Para o estado com tensão dobrada,
v_2 = \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \sqrt{\frac{2T_1}{\mu}} = \sqrt{2}\,\sqrt{\frac{T_1}{\mu}}.
Substituindo \sqrt{T_1/\mu} = v_1 obtemos
v_2 = \sqrt{2}\,v_1.

Passo 4

Agora substituímos o valor numérico dado: \n
v_2 = \sqrt{2}\times 20\\ \mathrm{m/s} = 20\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.
Se quisermos uma aproximação decimal, \sqrt{2}\approx 1,414, logo
v_2 \approx 20\times 1,414 = 28,3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação rápida para a prova: sempre que a tensão na corda for multiplicada por um fator k, a velocidade da onda é multiplicada por \sqrt{k}. Aqui k=2, então a velocidade aumenta em aproximadamente 41{,}4\%. Isso é um jeito útil e rápido de checar respostas numéricas sem refazer contas longas.

Resposta

20\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 28,3\\ \mathrm{m/s}

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