21.17 •• Três cargas puntiformes estão dispostas ao longo do eixo x. A carga q_{1}=+3,00 \mu \mathrm{C} está na origem e a carga q_{2}= -5,00 \mu \mathrm{C} está em x=0,200 \mathrm{~m}. A carga q_{3}=-8,00 \mu \mathrm{C}. Onde q_{3} estará localizada quando a força resultante sobre q_{1} for 7,0 \mathrm{~N} no sentido -x ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo retirado do enunciado):
  • Cargas e posições:
    • q_{1}=+3{,}00\\ \mu\mathrm{C} em x_{1}=0.
    • q_{2}=-5{,}00\\ \mu\mathrm{C} em x_{2}=0{,}200\\ \mathrm{m}.
    • q_{3}=-8{,}00\\ \mu\mathrm{C} está em posição x_{3} desconhecida (ao longo do eixo x).
  • Pedido:
    • Determinar a posição x_{3} tal que a força resultante sobre q_{1} seja 7{,}0\\ \mathrm{N} no sentido -x (i.e. 7,0 N para a esquerda).

Passo 2

Relembrando a fórmula que usaremos (aula rápida):
  • Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntiformes):
F = k\frac{|q_a q_b|}{r^{2}},
onde
  • F é a magnitude da força elétrica (em \mathrm{N}),
  • k é a constante eletrostática k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},
  • q_a,q_b são as cargas (em \mathrm{C}),
  • r é a distância entre as cargas (em \mathrm{m}).
  • Sinal (direção): cargas de sinais opostos atraem-se; cargas de mesmo sinal repelem-se. Aqui usaremos uma convenção de sinais para o eixo x: força à direita é positiva, à esquerda é negativa. Toda magnitude será calculada com a fórmula e depois atribuiremos sinal conforme a direção.
Também vamos converter microcoulombs para coulombs:
1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Portanto
q_{1}=3{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\qquad q_{2}=-5{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\qquad q_{3}=-8{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

Análise das direções das forças sobre q_{1}:
  • q_{2} é negativa e está em x=+0{,}200\\ \mathrm{m} à direita de q_{1}. Como q_{1} é positiva, a interação é de atração: q_{2} puxa q_{1} para a direita. Logo a força de q_{2} sobre q_{1} aponta no sentido +x.
  • Queremos a força resultante sobre q_{1} no sentido -x. Para que a resultante seja para a esquerda, a contribuição de q_{3} deve puxar q_{1} para a esquerda e ter magnitude maior do que a força que q_{2} exerce para a direita. Assim q_{3} precisa estar à esquerda de q_{1} (ou seja x_{3}<0), porque sendo q_{3} negativa ela atrairá q_{1} para a posição de q_{3}.
    Portanto vamos procurar x_{3}<0. Denote d=|x_{3}| a distância entre q_{3} e q_{1}.

Passo 4

Calcular a força de q_{2} sobre q_{1} (módulo e direção):
  • Distância entre q_{1} e q_{2}: r_{12}=0{,}200\\ \mathrm{m}.
  • Módulo:
F_{21}=k\frac{|q_{1}q_{2}|}{r_{12}^{2}} =8{,}99\times10^{9}\frac{(3{,}00\times10^{-6})(5{,}00\times10^{-6})}{(0{,}200)^{2}}.
Calcule passo a passo:
|q_{1}q_{2}|=(3{,}00\times10^{-6})(5{,}00\times10^{-6})=15{,}0\times10^{-12}=1{,}50\times10^{-11}\\ \mathrm{C^{2}}.
r_{12}^{2}=(0{,}200)^{2}=0{,}0400\\ \mathrm{m^{2}}.
F_{21}=8{,}99\times10^{9}\times\frac{1{,}50\times10^{-11}}{0{,}0400} =8{,}99\times10^{9}\times3{,}75\times10^{-10}.
F_{21}=8{,}99\times3{,}75\times10^{-1}=33{,}7125\times10^{-1}=3{,}37125\\ \mathrm{N}.
Direção: para a direita, portanto com sinal +3{,}37125\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Escrever a equação do equilíbrio de forças (convenção: direita positiva). A força resultante pedida é 7{,}0\\ \mathrm{N} para a esquerda, i.e. -7{,}0\\ \mathrm{N}. As forças sobre q_{1} são:
  • de q_{2}: +F_{21} (já calculada),
  • de q_{3}: como q_{3} estará à esquerda, ela atrai q_{1} para a esquerda, então a contribuição é -F_{31} (onde F_{31} é o módulo da força entre q_{3} e q_{1}).
    A resultante:
F_{\text{res}}=F_{21}-F_{31}.
Queremos F_{\text{res}}=-7{,}0\\ \mathrm{N}. Então
F_{21}-F_{31}=-7{,}0 \quad\Rightarrow\quad F_{31}=F_{21}+7{,}0.
Substituindo F_{21}=3{,}37125\\ \mathrm{N}:
F_{31}=3{,}37125+7{,}0=10{,}37125\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Relacionar F_{31} com a distância d=|x_{3}| usando Coulomb e resolver para d:
F_{31}=k\frac{|q_{1}q_{3}|}{d^{2}}.
Logo
d=\sqrt{\frac{k\,|q_{1}q_{3}|}{F_{31}}}.
Agora os números:
|q_{1}q_{3}|=(3{,}00\times10^{-6})(8{,}00\times10^{-6})=24{,}0\times10^{-12}=2{,}40\times10^{-11}\\ \mathrm{C^{2}}.
Numerador:
k\,|q_{1}q_{3}|=8{,}99\times10^{9}\times2{,}40\times10^{-11}=8{,}99\times2{,}40\times10^{-2}=21{,}576\times10^{-2}=0{,}21576.
Dividindo por F_{31}:
\frac{k\,|q_{1}q_{3}|}{F_{31}}=\frac{0{,}21576}{10{,}37125}\approx0{,}020804\\ \mathrm{m^{2}}.
Portanto
d=\sqrt{0{,}020804}\approx0{,}1442\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Concluir a posição x_{3}. Como determinamos que q_{3} deve estar à esquerda do origem:
x_{3}=-d\approx-0{,}144\\ \mathrm{m}.

Resposta

-0{,}144\\ \mathrm{m}

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