21.44 • A carga puntiforme q_{1}=-5,00 \mathrm{nC} está na origem e a carga puntiforme q_{2}=+3,00 \mathrm{nC} está sobre o eixo x \mathrm{em} x= 3,00 \mathrm{~cm}. O ponto P está sobre o eixo y em y=4,00 \mathrm{~cm}. (a) Calcule os campos elétricos \overrightarrow{\boldsymbol{E}}_{1} e \overrightarrow{\boldsymbol{E}}_{2} no ponto P em função das cargas q_{1} e q_{2}. Expresse seus resultados em função de vetores unitários (Exemplo 21.6). (b) Use os resultados da parte (a) para obter o campo elétrico resultante no ponto P, também em função de vetores unitários.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei esses números do enunciado).
  • Cargas puntiformes:
    • q_{1}=-5{,}00\\ \mathrm{nC} = -5{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, localizada na origem (0,0).
    • q_{2}=+3{,}00\\ \mathrm{nC} = 3{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, localizada em x=3{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}, ou seja em (0{,}03,0).
  • Ponto onde queremos o campo elétrico:
    • P em y=4{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}, ou seja em (0,0{,}04).
  • O enunciado pede:
    • (a) Calcular \overrightarrow{E}_{1} e \overrightarrow{E}_{2} no ponto P em função de q_{1} e q_{2}, expressos em vetores unitários.
    • (b) Usar (a) para obter o campo elétrico resultante \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_{1}+\overrightarrow{E}_{2} em P, também em vetores unitários.

Passo 2

Relembrando a fórmula que vamos usar (não é preciso memorizar tudo de cor, vamos entender):
  • A lei de Coulomb para campo elétrico de uma carga puntiforme q em um ponto P é
\overrightarrow{E}(\mathbf{r}) = k\,\dfrac{q}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},
onde:
  • k é a constante eletrostática, k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • \mathbf{r} é o vetor que vai da posição da carga até o ponto P.
  • r=\lVert\mathbf{r}\rVert é o comprimento desse vetor (a distância).
  • \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}}{r} é o vetor unitário na direção de \mathbf{r}.
    Observação importante sobre sinais: o sinal de q já determina a direção (positivo → campo aponta para fora da carga; negativo → aponta para a carga). A expressão vetorial acima já cuida disso.

Passo 3

Calcular \overrightarrow{E}_{1} (campo devido a q_{1} no ponto P) passo a passo.
  • Vetor posição da carga q_{1} é (0,0) e do ponto P é (0,0{,}04). Então o vetor que vai da carga até P é
\mathbf{r}_{1} = (0,0{,}04)\\ \mathrm{m}.
  • A distância r_{1} é
r_{1}=\lVert\mathbf{r}_{1}\rVert = 0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • O vetor unitário é
\hat{\mathbf{r}}_{1}=\frac{\mathbf{r}_{1}}{r_{1}}=(0)\,\hat{\mathbf{i}}+(1)\,\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}}.
  • Aplicando Coulomb:
\overrightarrow{E}_{1}=k\,\dfrac{q_{1}}{r_{1}^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}_{1} = k\,\dfrac{q_{1}}{(0{,}04)^{2}}\,\hat{\mathbf{j}}.
  • Agora substituindo k e q_{1} para obter um valor numérico (detalhando as contas):
k q_{1} = 8{,}99\times10^{9}\times(-5{,}00\times10^{-9}) = -44{,}95\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
r_{1}^{2}=(0{,}04)^{2}=0{,}0016\\ \mathrm{m^{2}}.
\frac{k q_{1}}{r_{1}^{2}}=\frac{-44{,}95}{0{,}0016}=-28093{,}75\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando com três algarismos significativos (mesma precisão dos dados):
\overrightarrow{E}_{1} \approx -2{,}81\times10^{4}\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{N/C}.
Interpretação física rápida: o campo aponta em -\hat{\mathbf{j}} (para baixo) porque q_{1} é negativa e o ponto P está acima da carga.

Passo 4

Calcular \overrightarrow{E}_{2} (campo devido a q_{2} no ponto P) passo a passo.
  • Posição de q_{2} é (0{,}03,0). Vetor da carga até P:
\mathbf{r}_{2} = (0,0{,}04) - (0{,}03,0) = (-0{,}03,\,0{,}04)\\ \mathrm{m}.
  • Distância r_{2}:
r_{2}=\sqrt{(-0{,}03)^{2}+(0{,}04)^{2}}=\sqrt{0{,}0009+0{,}0016}=\sqrt{0{,}0025}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
(observação simpática: triângulo 3\text{-}4\text{-}5 em metros)
  • Vetor unitário \hat{\mathbf{r}}_{2}:
\hat{\mathbf{r}}_{2}=\frac{\mathbf{r}_{2}}{r_{2}}=\left(\frac{-0{,}03}{0{,}05}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(\frac{0{,}04}{0{,}05}\right)\hat{\mathbf{j}}= (-0{,}6)\,\hat{\mathbf{i}}+(0{,}8)\,\hat{\mathbf{j}}.
  • Aplicando Coulomb:
\overrightarrow{E}_{2}=k\,\dfrac{q_{2}}{r_{2}^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}_{2} = k\,\dfrac{q_{2}}{(0{,}05)^{2}}\bigl((-0{,}6)\hat{\mathbf{i}}+(0{,}8)\hat{\mathbf{j}}\bigr).
  • Substituindo números e desenvolvendo:
k q_{2}=8{,}99\times10^{9}\times(3{,}00\times10^{-9})=26{,}97\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C},
r_{2}^{2}=(0{,}05)^{2}=0{,}0025\\ \mathrm{m^{2}},
\frac{k q_{2}}{r_{2}^{2}}=\frac{26{,}97}{0{,}0025}=10788\\ \mathrm{N/C}.
Agora os componentes:
E_{2x}=10788\times(-0{,}6)=-6472{,}8\\ \mathrm{N/C}\approx -6{,}47\times10^{3}\\ \mathrm{N/C},
E_{2y}=10788\times(0{,}8)=8629{,}0\\ \mathrm{N/C}\approx 8{,}63\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.
Portanto, em vetores unitários:
\overrightarrow{E}_{2}\approx -6{,}47\times10^{3}\,\hat{\mathbf{i}}+8{,}63\times10^{3}\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Somar vetorialmente \overrightarrow{E}_{1} e \overrightarrow{E}_{2} para obter o campo resultante em P.
  • Componentes:
E_{x}=E_{1x}+E_{2x}=0 + (-6{,}47\times10^{3}) = -6{,}47\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.
E_{y}=E_{1y}+E_{2y}=(-2{,}81\times10^{4}) + 8{,}63\times10^{3} = -1{,}9465\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando os componentes finais com três algarismos significativos:
E_{x}\approx -6{,}47\times10^{3}\\ \mathrm{N/C},\qquad E_{y}\approx -1{,}95\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
(O passo da soma é só somar componentes; sempre faça assim para campos vetoriais.)

Resposta

(a) \displaystyle \overrightarrow{E}_{1}=k\,\dfrac{q_{1}}{(0{,}04)^{2}}\,\hat{\mathbf{j}}\approx -2{,}81\times10^{4}\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{N/C}\n
\displaystyle \overrightarrow{E}_{2}=k\,\dfrac{q_{2}}{(0{,}05)^{2}}\bigl((-0{,}6)\hat{\mathbf{i}}+(0{,}8)\hat{\mathbf{j}}\bigr)\approx -6{,}47\times10^{3}\,\hat{\mathbf{i}}+8{,}63\times10^{3}\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{N/C}\n
(b) \displaystyle \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_{1}+\overrightarrow{E}_{2}\approx -6{,}47\times10^{3}\,\hat{\mathbf{i}}-1{,}95\times10^{4}\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{N/C}

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