21.20 • Duas cargas puntiformes são colocadas sobre o eixo x do seguinte modo: carga q_{1}=+4,00 \mathrm{nC} está localizada no ponto x=0,200 \mathrm{~m} e carga q_{2}=+5,00 \mathrm{nC}, no ponto x=-0,300 \mathrm{~m}. Qual é o módulo, a direção e o sentido da força resultante que essas duas cargas exercem sobre uma terceira carga puntiforme negativa q_{3}=-6,00 \mathrm{nC}, localizada na origem?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Cargas fornecidas (peguei estes valores do enunciado):
    • q_{1}=+4,00\\ \mathrm{nC}=4,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, localizada em x=+0,200\\ \mathrm{m}.
    • q_{2}=+5,00\\ \mathrm{nC}=5,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, localizada em x=-0,300\\ \mathrm{m}.
    • q_{3}=-6,00\\ \mathrm{nC}=-6,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, localizada na origem x=0.
  • Distâncias da carga q_{3} (origem) às outras cargas:
    • distância até q_{1}: r_{1}=0,200\\ \mathrm{m} (peguei da posição dada de q_{1}).
    • distância até q_{2}: r_{2}=0,300\\ \mathrm{m} (peguei da posição dada de q_{2}).
  • O que é pedido:
    • módulo da força resultante sobre q_{3};
    • direção da força resultante;
    • sentido da força resultante (para que lado do eixo x).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (mini-aula básica e prática).
  • A interação entre duas cargas puntiformes é dada pela Lei de Coulomb. Em módulo: F = k\,\frac{|q_a q_b|}{r^{2}},onde:
    • F é o módulo da força entre as cargas (em newtons, \mathrm{N});
    • k é a constante eletrostática no vácuo, k = 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}};
    • q_a e q_b são as cargas (em coulombs, \mathrm{C});
    • r é a distância entre elas (em metros, \mathrm{m}).
  • Sobre direção e sentido: cargas de sinais opostos atraem-se; cargas de mesmo sinal repelem-se. A força é central (ao longo da linha que une as cargas). Como aqui q_{1} e q_{2} são positivas e q_{3} é negativa, ambas as outras cargas atraem q_{3}: a força de q_{1} sobre q_{3} aponta da origem para +x (direção de q_{1}) e a força de q_{2} sobre q_{3} aponta da origem para -x (direção de q_{2}).

Passo 3

Converter unidades e escrever a fórmula para cada força (sem calcular ainda).
  • Constante: k = 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Valores das cargas em SI: q_{1}=4,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\qquad q_{2}=5,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\qquad q_{3}=-6,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Distâncias: r_{1}=0,200\\ \mathrm{m},\qquad r_{2}=0,300\\ \mathrm{m}.
  • Módulos das forças (pela Lei de Coulomb): F_{1}=k\,\frac{|q_{1}q_{3}|}{r_{1}^{2}}, \qquad F_{2}=k\,\frac{|q_{2}q_{3}|}{r_{2}^{2}}.

Passo 4

Calcular F_{1} (força sobre q_{3} devida a q_{1}) com contas bem demonstradas.
  • Produto das cargas em módulo: |q_{1}q_{3}| = (4,00\times10^{-9})(6,00\times10^{-9}) = 24,0\times10^{-18}=2,40\times10^{-17}\\ \mathrm{C^{2}}.
  • Aplicando na fórmula: F_{1}=8,99\times10^{9}\,\frac{2,40\times10^{-17}}{(0,200)^{2}}.
  • Calcular o denominador: (0,200)^{2}=0,0400.
  • Então F_{1}=8,99\times10^{9}\,\frac{2,40\times10^{-17}}{4,00\times10^{-2}} =8,99\times10^{9}\times\left(6,00\times10^{-16}\right).(a divisão 2,40\times10^{-17}\div 4,00\times10^{-2}=6,00\times10^{-16}).
  • Multiplicando: F_{1}=8,99\times10^{9}\times6,00\times10^{-16}=53,94\times10^{-7}=5,394\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
  • Portanto: F_{1}=5,394\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular F_{2} (força sobre q_{3} devida a q_{2}) com contas demonstradas.
  • Produto das cargas em módulo: |q_{2}q_{3}|=(5,00\times10^{-9})(6,00\times10^{-9})=30,0\times10^{-18}=3,00\times10^{-17}\\ \mathrm{C^{2}}.
  • Aplicando na fórmula: F_{2}=8,99\times10^{9}\,\frac{3,00\times10^{-17}}{(0,300)^{2}}.
  • Calcular o denominador: (0,300)^{2}=0,0900.
  • Então F_{2}=8,99\times10^{9}\,\frac{3,00\times10^{-17}}{9,00\times10^{-2}} =8,99\times10^{9}\times\left(3,333\ldots\times10^{-16}\right).(a divisão 3,00\times10^{-17}\div 9,00\times10^{-2}=3,333\ldots\times10^{-16}).
  • Multiplicando: F_{2}=8,99\times10^{9}\times3,333\ldots\times10^{-16}\approx29,9667\times10^{-7}=2,99667\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
  • Portanto: F_{2}\approx2,997\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Determinar os sentidos de F_{1} e F_{2} e montar a soma vetorial (aqui tudo está sobre o eixo x).
  • Lembrete de orientação: tomar o eixo x com sentido positivo para a direita.
  • Como q_{3} é negativa e q_{1},q_{2} são positivas, ambas atraem q_{3}:
    • F_{1} aponta de q_{3} para q_{1}, ou seja, para +x (direita).
    • F_{2} aponta de q_{3} para q_{2}, ou seja, para -x (esquerda).
  • Adotando sinais algébricos (positivos para +x, negativos para -x): F_{\text{resultante}} = +F_{1} - F_{2}.
  • Substituindo os valores numéricos: F_{\text{resultante}} = 5,394\times10^{-6} - 2,99667\times10^{-6} =2,39733\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Interpretação final, arredondamento e resposta em linguagem clara e encorajadora.
  • Magnitude: arredondando para três algarismos significativos (coerente com dados), fica F_{\text{resultante}} \approx 2,40\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
  • Direção: ao longo do eixo x (linha que liga as cargas).
  • Sentido: para +x, isto é, para a direita — ou seja, em direção à carga q_{1} localizada em x=+0,200\\ \mathrm{m}.
Está tudo certo — a força resultante é pequena (ordem de micronewtons) e aponta para a direita porque a atração de q_{1} (mais próxima) vence a de q_{2}.

Resposta

F_{\text{resultante}} \approx 2,40\times10^{-6}\\ \mathrm{N}
Direção: ao longo do eixo x
Sentido: para +x (direita), ou seja, em direção à carga q_{1} em x=0,200\\ \mathrm{m}

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