43-48 Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede que esbocemos a região de integração
e depois mudemos a ordem de integração. Esse é um exercício de integrais duplas sobre regiões planas.
Passo 2
Para esboçar
, vamos ao sistema de eixos
:
- A reta
é uma linha horizontal. - A reta
é o eixo . - A reta
é a bissetriz do primeiro quadrante.
A condiçãodefine o triângulo abaixo da linha , acima do eixo e à direita da reta .
Passo 3
Agora queremos inverter a ordem: em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Na descrição original,
Na descrição original,
Invertendo,
varia desde seu menor valor em
até o maior, isto é de
a
. Para cada
fixo,
vai de onde? A região exige
e
. Logo
Passo 4
Com esses novos limites, a integral trocada de ordem fica
Resposta
Região
é o triângulo
.