43-48 Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\int_{y=0}^{1}\;\int_{x=0}^{y} f(x,y)\,dx\,dy
e pede que esbocemos a região de integração
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le1\}
e depois mudemos a ordem de integração. Esse é um exercício de integrais duplas sobre regiões planas.

Passo 2

Para esboçar D, vamos ao sistema de eixos xy:
  • A reta y=1 é uma linha horizontal.
  • A reta x=0 é o eixo y.
  • A reta x=y é a bissetriz do primeiro quadrante.
    A condição 0\le x\le y\le1 define o triângulo abaixo da linha y=1, acima do eixo x=0 e à direita da reta x=y.

Passo 3

Agora queremos inverter a ordem: em vez de integrar primeiro em x e depois em y, vamos integrar primeiro em y e depois em x.
Na descrição original,
0\le y\le1 \quad\text{e}\quad 0\le x\le y.
Invertendo, x varia desde seu menor valor em D até o maior, isto é de 0 a 1. Para cada x fixo, y vai de onde? A região exige y\ge x e y\le1. Logo
0\le x\le1 \quad\text{e}\quad x\le y\le1.

Passo 4

Com esses novos limites, a integral trocada de ordem fica
\int_{x=0}^{1}\;\int_{y=x}^{1} f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

\boxed{ \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{y} f(x,y)\,dx\,dy \;=\; \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x}^{1} f(x,y)\,dy\,dx }
Região D é o triângulo \{(x,y):0\le x\le y\le1\}.

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