Use o teste da integral para determinar se as séries convergem ou divergem. Certifique-se que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{n / 3}}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{n/3}}.
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos. Vamos definir a função
f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x/3}},
e verificar as condições de aplicabilidade do teste (positividade, continuidade e monoticidade decrescente a partir de algum ponto).

Passo 2

Verificação das condições do teste da integral:
  1. Para x\ge1, temos f(x)>0 e f é contínua, pois é composta de funções exponencial e polinomial.
  2. Derivando,
f'(x) =\bigl(x^{2}\bigr)'\,e^{-x/3} + x^{2}\,\bigl(e^{-x/3}\bigr)' =2x\,e^{-x/3}-\frac{x^{2}}{3}\,e^{-x/3} =x\,e^{-x/3}\Bigl(2-\frac{x}{3}\Bigr).
Logo f'(x)<0 sempre que x>6. Assim, f é decrescente em [6,\infty), e podemos ignorar os primeiros termos finitos para o teste da integral.

Passo 3

Cálculo da integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{x^{2}}{e^{x/3}}\,dx =\int_{1}^{\infty}x^{2}e^{-x/3}\,dx.
Fazendo a substituição u=x/3, então x=3u e dx=3\,du. Os limites vão de u=1/3 até u\to\infty. Assim,
\int_{1}^{\infty}x^{2}e^{-x/3}\,dx =\int_{1/3}^{\infty}(3u)^{2}e^{-u}\,3\,du =27\int_{1/3}^{\infty}u^{2}e^{-u}\,du.
Como \int_{0}^{\infty}u^{2}e^{-u}\,du=\Gamma(3)=2! é finita, a integral acima também converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
\int_{1}^{\infty}\frac{x^{2}}{e^{x/3}}\,dx<\infty
e f satisfaz as condições (positiva, contínua e decrescente para x grande), a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{e^{n/3}}
converge.

Resposta

A série converge.

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