Use o teste da integral para determinar se as séries convergem ou divergem. Certifique-se que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos. Vamos definir a função
e verificar as condições de aplicabilidade do teste (positividade, continuidade e monoticidade decrescente a partir de algum ponto).
Passo 2
Verificação das condições do teste da integral:
- Para
, temos e é contínua, pois é composta de funções exponencial e polinomial. - Derivando,
Logo
sempre que
. Assim,
é decrescente em
, e podemos ignorar os primeiros termos finitos para o teste da integral.
Passo 3
Cálculo da integral imprópria
Fazendo a substituição
, então
e
. Os limites vão de
até
. Assim,
Como
é finita, a integral acima também converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
e
satisfaz as condições (positiva, contínua e decrescente para
grande), a série
converge.
Resposta
A série converge.