21-34 Determine se a série é convergente ou divergente. Se els. convergente, calcule sua soma.
14. 1+0,4+0,16+0,064+cdots
(11.) 3+2+43+89+cdots

Passo 1

O enunciado pede para testar convergência das séries e, se convergirem, calcular a soma. O conteúdo aqui é série geométrica, em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão r. Se |r|<1, a série converge e
S = a11-r
onde a1 é o primeiro termo.

Passo 2

Para a série
1 + 0,4 + 0,16 + 0,064 + cdots
observamos
0,41 = 0,4, 0,160,4 = 0,4,
logo é geométrica com a1 = 1 e r = 0,4.

Passo 3

Como |r|=0,4<1, a série converge. Aplicando
S = a11 - r
temos
S = 11 - 0,4 = 10,6 = 53

Passo 4

Para a série
3 + 2 + 43 + 89 + cdots
vemos
23 = 23, tfrac432 = 23,
ou seja, a1 = 3 e r = tfrac23.

Passo 5

Como l|rr|=tfrac23<1, a série converge. Usando
S = a11 - r
obtemos
S = 31 - tfrac23 = 3tfrac13 = 9

Resposta

  1. A série é convergente e sum = tfrac53.
  2. A série é convergente e sum = 9.

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