Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
ln nln 2 n

Passo 1

O enunciado nos apresenta a sequência
an = ln nln(2n)
e pede para determinar se an converge ou diverge. Caso converja, devemos encontrar seu limite. O conteúdo envolvido é análise de sequências infinitas e cálculo de limites.

Passo 2

Observamos que, quando ntoinfty, tanto ln n quanto ln(2n) crescem sem limite, gerando uma forma indeterminada do tipo infty/infty. Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever o denominador de modo a isolar a parte que diverge.

Passo 3

Usamos a propriedade do logaritmo
ln(2n)=ln2+ln n
e reescrevemos
an = ln nln n + ln2 = 11 + dfracln2ln n

Passo 4

Agora analisamos o termo dfracln2ln n. Como ln n to infty quando ntoinfty, temos
ln2ln n ;longrightarrow;0
Portanto
an = 11 + ln2ln n ;longrightarrow; 11+0 =1

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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