Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(37.) a_{n}=n \operatorname{sen}(1 / n)

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = n senl(tfrac1nr)
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é limite de sequência envolvendo função trigonométrica quando o argumento tende a zero. Vamos usar o fato clássico de que
limxto0sen(x)x=1

Passo 2

Observamos que, à medida que ntoinfty, o termo tfrac1nto0. Podemos manipular an para evidenciar o quociente sen(x)x.
Em particular, escrevemos
an = n senl(tfrac1nr) = senl(tfrac1nr)tfrac1n

Passo 3

Como tfrac1nto0 quando ntoinfty, pela propriedade
limxto0sen(x)x=1
temos
limntoinftyan = limntoinftysenl(tfrac1nr)tfrac1n = 1

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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