21.82 : ©ALC Uma carga positiva
é distribuída uniformemente sobre a parte positiva do eixo
desde
até
. Uma carga puntiforme negativa - q está sobre a parte positiva do eixo
, a uma distância
da origem (Figura P21.82). (a) Determine os componentes
e
do campo elétrico produzido pela distribuição de cargas
nos pontos da parte positiva do eixo
. (b) Encontre os componentes
e
da força que a distribuição de cargas
exerce sobre a carga
. © Mostre que, para os pontos
. Explique o motivo desse resultado.
Passo 1
Beleza, temos aqui eletrostática: uma carga total
distribuída uniformemente ao longo do eixo
de
até
, e uma carga pontual negativa
no eixo
a uma distância
da origem.
O que a questão pede:
a) Ache as componentes e
do campo elétrico da linha de carga nos pontos do eixo
.
b) Ache as componentes e
da força que essa distribuição faz sobre
.
c) Mostre que, para ,
O que a questão pede:
a) Ache as componentes
b) Ache as componentes
c) Mostre que, para
e explique por quê.
Para resolver vamos usar a Lei de Coulomb para distribuição contínua de carga e integração.
Para resolver vamos usar a Lei de Coulomb para distribuição contínua de carga e integração.
Passo 2
Campo elétrico por integração:
- Defino densidade linear
. - Escolho um elemento de carga no ponto
, com . - O ponto de observação está em
. A distância é
e o módulo do campo gerado por é
- Quebramos em componentes. O vetor de aponta de
para , então
Integrando de
a
:
onde usei .
Passo 3
Força sobre a carga
vem de
. Assim
Passo 4
Limite
:
√(x²+a²)≈x(1+ a²/(2x²)), então
√(x²+a²)≈x(1+ a²/(2x²)), então
Logo
Por que isso? Para
a distribuição de carga “vê-se” quase como um ponto carga
no origem (termo
). O
menor, de ordem
, aparece porque a linha de carga tem extensão em
(faz um dipolo efetivo), gerando um campo transversal decaindo mais rápido.
Resposta
E_x=\displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q}{x\sqrt{x2+a2}},
E_y=\displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q}{a}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{x2+a2}}-\frac{1}{x}\Bigr),
E_y=\displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q}{a}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{x2+a2}}-\frac{1}{x}\Bigr),
F_x=-q,E_x=-\frac{Q,q}{4\pi\varepsilon_0,x\sqrt{x2+a2}},
F_y=-q,E_y=-\frac{Q,q}{4\pi\varepsilon_0,a}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{x2+a2}}-\frac{1}{x}\Bigr).
F_y=-q,E_y=-\frac{Q,q}{4\pi\varepsilon_0,a}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{x2+a2}}-\frac{1}{x}\Bigr).
Para x≫a:
F_x≈−Qq/(4πε₀ x²), F_y≈+Q q a/(8πε₀ x³).
F_x≈−Qq/(4πε₀ x²), F_y≈+Q q a/(8πε₀ x³).