21.82 : ©ALC Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente sobre a parte positiva do eixo y desde y=0 até y=a. Uma carga puntiforme negativa - q está sobre a parte positiva do eixo x, a uma distância x da origem (Figura P21.82). (a) Determine os componentes x e y do campo elétrico produzido pela distribuição de cargas Q nos pontos da parte positiva do eixo x. (b) Encontre os componentes x e y da força que a distribuição de cargas Q exerce sobre a carga q. © Mostre que, para os pontos x gg a, Fx cong-Q q / 4 pi epsilon0 x^2 e Fy cong Qq a / 8 pi epsilon0 x^3. Explique o motivo desse resultado.

Passo 1

Beleza, temos aqui eletrostática: uma carga total Q distribuída uniformemente ao longo do eixo y de y=0 até y=a, e uma carga pontual negativa -q no eixo x a uma distância x da origem.
O que a questão pede:
a) Ache as componentes Ex e Ey do campo elétrico da linha de carga nos pontos do eixo x>0.
b) Ache as componentes Fx e Fy da força que essa distribuição faz sobre -q.
c) Mostre que, para xgg a,
Fxapprox -Qq4pivarepsilon0,x^2, Fyapprox Q,q,a8pivarepsilon0,x^3,
e explique por quê.
Para resolver vamos usar a Lei de Coulomb para distribuição contínua de carga e integração.

Passo 2

Campo elétrico por integração:
  1. Defino densidade linear lambda=Qa.
  2. Escolho um elemento de carga no ponto dd q=lambda,dd y', com (0,y').
  3. O ponto de observação está em 0<= y'<= a. A distância é
(x,0)
e o módulo do campo gerado por é
  1. Quebramos em componentes. O vetor de aponta de r=raizx^2+y'^2,, para dd q, então
Integrando de dd E = 14pivarepsilon0,dd qr^2 =14pivarepsilon0,lambda,dd y'l(x^2+y'^2r), a dd E:
onde usei .

Passo 3

Força sobre a carga -q vem de F=(-q), E. Assim
Fx = -q,Ex = -q;14pivarepsilon0,Qxraizx^2+a^2, Fy = -q,Ey = -q;14pivarepsilon0,Qa l(1raizx^2+a^2-1xr)

Passo 4

Limite xgg a:
√(x²+a²)≈x(1+ a²/(2x²)), então
Exapprox 14pivarepsilon0,Qx^2, Eyapprox -14pivarepsilon0,Q,a2,x^3
Logo
Fx = -qExapprox -Q,q4pivarepsilon0,x^2, Fy = -qEyapprox +Q,q,a8pivarepsilon0,x^3
Por que isso? Para xgg a a distribuição de carga “vê-se” quase como um ponto carga Q no origem (termo 1/x^2). O Fy menor, de ordem 1/x^3, aparece porque a linha de carga tem extensão em y (faz um dipolo efetivo), gerando um campo transversal decaindo mais rápido.

Resposta

E_x=\displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q}{x\sqrt{x2+a2}},
E_y=\displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q}{a}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{x2+a2}}-\frac{1}{x}\Bigr),
F_x=-q,E_x=-\frac{Q,q}{4\pi\varepsilon_0,x\sqrt{x2+a2}},
F_y=-q,E_y=-\frac{Q,q}{4\pi\varepsilon_0,a}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{x2+a2}}-\frac{1}{x}\Bigr).
Para x≫a:
F_x≈−Qq/(4πε₀ x²), F_y≈+Q q a/(8πε₀ x³).

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