21: Calcule a área da região S definida por: S=\left\{(x, y) \mid x \geq 0, y \leq 1, x^{2}+y^{2} \leq 4 y\right\}

Passo 1

O enunciado pede a área da região
S = \{(x,y)\mid x\ge 0,\;y\le 1,\;x^2+y^2\le 4y\}.
O conteúdo aqui é geometria de circunferência e área de setor ou segmento circular. Vamos reconhecer a curva x^2+y^2=4y como um círculo e então achar a parte desse disco que fica abaixo de y=1 e em x\ge0.

Passo 2

Reescrevendo a condição
x^2+y^2\le 4y
fica
x^2 + (y-2)^2 \le 4,
que é o disco de raio R=2 centrado em (0,2).

Passo 3

A reta y=1 fica a uma distância
d = |2-1| = 1
do centro do círculo. O trecho do disco abaixo de y=1 é um segmento circular de “altura” h=R-d=2-1=1.

Passo 4

A área do segmento circular de raio R cortado a uma distância d do centro é
A_{\text{seg}} \;=\; R^2\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{d}{R}\bigr)\;-\;d\sqrt{R^2 - d^2}.
Aqui R=2 e d=1, então
A_{\text{seg}} = 2^2\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac12\bigr) -1\sqrt{4-1} =4\cdot\tfrac{\pi}{3}-\sqrt{3} =\tfrac{4\pi}{3}-\sqrt{3}.

Passo 5

Como ainda restrigimos a x\ge0, ficamos com exatamente metade desse segmento. Logo a área procurada é
A(S) =\tfrac12\,A_{\text{seg}} =\tfrac12\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}-\sqrt{3}\Bigr) =\tfrac{2\pi}{3}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\boxed{\,\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,}

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