Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v :
\int \cos x \ln \sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos x \,\ln\bigl(\sin x\bigr)\,dx
usando a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Vamos escolher u e dv de modo que a derivada de u torne a integral restante mais simples.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln\bigl(\sin x\bigr), \quad dv = \cos x\,dx,
pois \int \cos x\,dx é imediata e a derivada de \ln(\sin x) simplifica a parte que sobra. Calculamos
du = \frac{d}{dx}\bigl(\ln(\sin x)\bigr)\,dx = \frac{\cos x}{\sin x}\,dx,
v = \int \cos x\,dx = \sin x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \cos x \,\ln(\sin x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \sin x \,\ln(\sin x) - \int \sin x \,\frac{\cos x}{\sin x}\,dx.

Passo 4

No integrando, \sin x cancela-se e resta
\int \sin x \,\frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int \cos x\,dx = \sin x.
Substituindo de volta, obtemos
\int \cos x \,\ln(\sin x)\,dx = \sin x \,\ln(\sin x) - \sin x + C.

Resposta

\sin x\bigl(\ln(\sin x)-1\bigr)+C

Exercícios relacionados