7: Encontre a área da região delimitada pelas curvas y=\sin x, y=\cos x, x=0 e x=\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região em [0,\tfrac{\pi}{2}] limitada pelas curvas y=\sin x e y=\cos x. Esse é um problema de área entre duas curvas, que resolve dividindo o intervalo nas abscissas onde as duas se cruzam e integrando a diferença entre a função de cima e a de baixo.

Passo 2

Para achar onde as curvas se interceptam, resolvemos
\sin x = \cos x
o que dá
\tan x = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{4}
em [0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima em cada subintervalo. Para 0\le x<\tfrac{\pi}{4} vale
\sin x < \cos x,
e para \tfrac{\pi}{4}<x\le\tfrac{\pi}{2} vale
\sin x > \cos x.

Passo 4

Então a área A é
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\bigl(\cos x - \sin x\bigr)\,dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\sin x - \cos x\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculemos a primeira integral. Uma primitiva de \cos x - \sin x é
\sin x + \cos x.
Logo
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\bigl(\cos x - \sin x\bigr)\,dx = \bigl[\sin x + \cos x\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) - (0+1) = \sqrt2 - 1.

Passo 6

Para a segunda integral, uma primitiva de \sin x - \cos x é
-\cos x - \sin x.
Então
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\sin x - \cos x\bigr)\,dx = \bigl[-\cos x - \sin x\bigr]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \bigl(-0 -1\bigr) - \bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) = -1 + \sqrt2 = \sqrt2 - 1.

Passo 7

Somando as duas partes, a área total é
A = (\sqrt2 - 1) + (\sqrt2 - 1) = 2(\sqrt2 - 1).

Resposta

A área da região é 2(\sqrt2 - 1).

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