Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério:
sumn=2^infty n+1n(n-1)

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
sumn=2^inftyn+1n(n-1)
Isso envolve séries numéricas e, em particular, podemos usar a ideia de decomposição em frações parciais para revelar um comportamento telescópico.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Buscamos constantes
Isso equivale a
Comparando coeficientes obtemos o sistema
cuja solução é . Logo

Passo 3

Agora consideramos a soma parcial até N:
SN = sumn=2^Nl(2n-1-1nr)
Mude de índice no primeiro somatório: seja k=n-1, então k vai de 1 a N-1. Assim
SN = sumk=1^N-12k ;-;sumn=2^N1n

Passo 4

Reconhecendo somatórios harmônicos, temos
sumk=1^N-12k = 2HN-1, sumn=2^N1n = HN-1,
onde HM=sumj=1^M1j. Então
SN = 2HN-1 - (HN -1) = 2l(HN -tfrac1Nr) - HN +1 = HN +1 - 2N
Como HNsimln N cresce sem limite quando Ntoinfty, a soma parcial SNtoinfty.

Passo 5

O fato de SN divergir para +infty mostra que a série original não converge. O critério usado foi a decomposição em frações parciais, revelando uma soma telescópica cujo valor cresce como o logaritmo harmônico.

Resposta

A série diverge (critério de frações parciais com soma telescópica).

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