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(!!) Considere a função:
a) Calcule
e
para todo
.
(!!) Considere a função:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que é definida de duas formas: uma para todos os pontos
que não são a origem
, e outra específica para a origem. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo a outra fixa. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar as regras de derivação para quocientes e entender como aplicar as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na função quando
:
Vamos simplificar o numerador para facilitar as coisas. Expande-se
:
Então, o numerador fica:
Agora, temos:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Para derivar uma função que é um quociente, usamos a regra do quociente:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Agora, vamos simplificar o numerador.
Passo 6
Expandindo os termos:
E:
Subtraindo esse último do primeiro:
Passo 7
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Usando novamente a regra do quociente:
Onde
e
.
Passo 9
Vamos encontrar
e
:
Passo 10
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador.
Passo 11
Expandindo os termos:
E:
Subtraindo esse último do primeiro:
Passo 12
Portanto, a derivada parcial em relação a
é:
Resposta
As derivadas parciais são: