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(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
a) Calcule f_x(x, y) e f_y(x, y) para todo (x, y) != (0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que é definida de duas formas: uma para todos os pontos que não são a origem , e outra específica para a origem. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo a outra fixa. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar as regras de derivação para quocientes e entender como aplicar as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na função quando :
Vamos simplificar o numerador para facilitar as coisas. Expande-se :
Então, o numerador fica:
Agora, temos:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Para derivar uma função que é um quociente, usamos a regra do quociente:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar e :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Agora, vamos simplificar o numerador.

Passo 6

Expandindo os termos:
E:
Subtraindo esse último do primeiro:

Passo 7

Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Usando novamente a regra do quociente:
Onde e .

Passo 9

Vamos encontrar e :

Passo 10

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador.

Passo 11

Expandindo os termos:
E:
Subtraindo esse último do primeiro:

Passo 12

Portanto, a derivada parcial em relação a é:

Resposta

As derivadas parciais são:

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