Calcule.
integral0^1 x raiz1+2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral definida que envolve uma função polinomial multiplicada por uma raiz quadrada de outra função polinomial. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a parte dentro da raiz. Vamos deixar:
u = 1 + 2x^2
Dessa forma, nossa integral fica em termos de , o que facilita a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 4x em relação a du = 4x , dx Rightarrow x , dx = du4 para fazer a substituição completa. Calculando a derivada:
Isso significa que:
Com isso, substituímos na integral original.

Passo 4

Substituindo integral x raiz1 + 2x^2 , dx = integral raizu cdot du4 = 14 integral u^1/2 , du e na integral, temos:
Agora, a integral está muito mais simples e podemos resolver facilmente.

Passo 5

Vamos integrar 14 integral u^1/2 , du = 14 cdot u^3/232 = 14 cdot 23 u^3/2 = 16 u^3/2 em relação a :
Então, a primitiva da função é .

Passo 6

Agora, voltamos à variável original 16 u^3/2 = 16 (1 + 2x^2)^3/2 substituindo :
Isso nos dá a antiderivada completa da função original.

Passo 7

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
16 (1 + 2x^2)^3/2 |0^1 = 16 (1 + 2(1)^2)^3/2 - 16 (1 + 2(0)^2)^3/2
Calculando cada termo:
= 16 (3)^3/2 - 16 (1)^3/2 = 16 cdot 3raiz3 - 16 cdot 1 = raiz32 - 16

Resposta

A integral é igual a .

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