Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio, a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçar o gráfico da função
. Estamos trabalhando com funções absolutas, que fazem parte da matemática básica. Para isso, vamos precisar entender como a função valor absoluto se comporta.
Passo 2
Dominio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. A função valor absoluto
está definida para todos os números reais, pois podemos calcular o valor absoluto de qualquer número. Portanto, o domínio é:
Passo 3
Imagem: A imagem da função é o conjunto de todos os possíveis valores de
. Como o valor absoluto sempre resulta em um número não negativo,
será sempre maior ou igual a zero. Assim, a imagem é:
Passo 4
Conjunto de Zeros: Os zeros da função são os valores de
que fazem
. Então, resolvemos:
Isso ocorre quando
, ou seja:
Então, o conjunto de zeros é:
Passo 5
Intervalos de Positividade e Negatividade:
A função valor absoluto é sempre não negativa, ou seja, nunca será negativa. Vamos verificar quando é positiva:
A função valor absoluto
Isso ocorre para todo
diferente de -2. Portanto:
- Positiva:
e - Nenhuma região negativa
Passo 6
Esboço do Gráfico:
A função é uma V invertida com o vértice no ponto (-2, 0). Para esboçar:
A função
- Marque o ponto (-2, 0).
- Para
, a função é , que é uma linha reta com inclinação positiva. - Para
, a função é , que é uma linha reta com inclinação negativa.
O gráfico será uma V que se abre para cima, tocando o eixo x no ponto (-2, 0).
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Conjunto de Zeros:
- Intervalos:
- Positiva para todo
- Nenhum intervalo de negatividade
- Positiva para todo
- Gráfico: Uma V invertida com vértice em (-2, 0), abrindo para cima.