Duas ondas são descritas por (5,0 pontos):
y_{1}=0,40 \operatorname{sen}[(5 \pi x)-(3 \pi t)] \quad \text { e } \quad y_{2}=0,40 \operatorname{sen}[(5 \pi x)-(3 \pi t)+\pi / 2]
onde: y_{1} e y_{2} e x estão em metros e t está em segundos. Quando as duas são combinadas, é produzida uma onda progressiva. Determine: a) a amplitude e o comprimento de onda; b) a velocidade (e o sentido propagação) e a frequência da onda progressiva; c) Esboce o gráfico da onda progressiva.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas progressivas idênticas em amplitude A=0,40,m, número de onda k=5\pi,rad/m e frequência angular \omega=3\pi,rad/s, defasadas de \pi/2. O conteúdo principal é a superposição de senos com fase diferente (identificar nova amplitude e fase) e, em seguida, usar as relações
\lambda=\frac{2\pi}{k},\quad f=\frac{\omega}{2\pi},\quad v=\frac{\omega}{k}.

Passo 2

Escrevemos \theta=5\pi x-3\pi t. Então
y=y_1+y_2 =0,40\bigl[\sin\theta + \sin\bigl(\theta+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr].
Usando \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\bigr) com \beta=\theta+\tfrac{\pi}{2}, vem
y=0,40\cdot 2\sin\!\Bigl(\theta+\tfrac{\pi}{4}\Bigr) \cos\!\Bigl(-\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =0,40\sqrt2\;\sin\!\Bigl(5\pi x-3\pi t+\tfrac{\pi}{4}\Bigr).
Logo a amplitude resultante é
A'=0,40\sqrt2\approx0,566\text{ m}.

Passo 3

O comprimento de onda é
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{5\pi}=\frac{2}{5}=0,40\text{ m}.

Passo 4

A frequência é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3\pi}{2\pi}=\tfrac{3}{2}=1,5\text{ Hz},
e a velocidade de propagação
v=\frac{\omega}{k}=\frac{3\pi}{5\pi}=\tfrac{3}{5}=0,60\text{ m/s}.
O sinal em 5\pi x-3\pi t indica propagação no sentido positivo de x.

Passo 5

Para esboçar o perfil espacial num dado instante (por exemplo t=0), consideramos
y(x,0)=0,40\sqrt2\;\sin\bigl(5\pi x+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Temos amplitude \pm0,566 e \lambda=0,40. Em x=0, \sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2} y(0,0)=0,40. Entre 0 e 0,40 a curva atinge máximo +0,566 em x=0,05, cruza zero em x=0,15, chega a -0,566 em x=0,25 e volta a zero em x=0,35. O gráfico é uma senóide deslocada de fase \pi/4.

Resposta

a) Amplitude A'=0,40\sqrt2\approx0,566,m e comprimento de onda \lambda=0,40,m.
b) Velocidade v=0,60,m/s no sentido +x e frequência f=1,5,Hz.
c) O perfil num instante fixo é
y(x,0)=0,40\sqrt2\;\sin\bigl(5\pi x+\tfrac{\pi}{4}\bigr),
uma senóide de amplitude \pm0,566 e período espacial 0,40,m, deslocada de fase \pi/4.

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