Q.21) Equação do fim do mundo. Considere a equação diferencial \frac{d P}{d t}=k P^{1+c}, onde \mathrm{k}>0 e c \geq 0. Responda:
a) Considerando c=0,01. A equação diferencial acima é um modelo matemático para uma população de pequenos animais, onde o tempo(t) é mensurado em meses. Resolva a equação diferencial sujeita a condição inicial P(0)=10 e o fato de que a população animal dobrou em 5 meses.
b) A equação diferencial acima é chamada de equação do fim do mundo porque a população \mathrm{P}(\mathrm{t}) exibe um crescimento infinito ao longo de um intervalo de tempo finito ( 0 ; \mathrm{T} ), isto é, há algum instante T na qual P(T) \rightarrow \infty quando t \rightarrow T^{-}. Encontre T .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dP}{dt}=k\,P^{1+c},
com k>0 e c\ge0. No item (a) usamos c=0,01, a condição inicial P(0)=10 e o fato de que P(5)=20. No item (b) precisamos achar o instante T em que P(t)\to\infty quando t\to T^-. Vamos resolver por separação de variáveis e depois determinar o tempo de explosão.

Passo 2

Separamos variáveis e integramos:
\frac{dP}{P^{1+c}} = k\,dt.
Para c\neq0,
\int P^{-1-c}dP = \int k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{P^{-c}}{-c} = k\,t + C.
Reescrevendo,
P^{-c} = -c\,k\,t + C',
onde C'=-c\,C é constante a determinar.

Passo 3

Aplicamos P(0)=10. Em t=0 temos
10^{-c} = C',
logo a solução geral fica
P(t) =\bigl(10^{-c} - c\,k\,t\bigr)^{-\frac1c}.

Passo 4

Usamos P(5)=20 para encontrar k. Com c=0,01:
20 = \bigl(10^{-0.01} - 0,01\,k\cdot5\bigr)^{-100} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(10^{-0.01} - 0,05\,k\bigr) = 20^{-0.01}.
Assim
k = \frac{10^{-0.01} - 20^{-0.01}}{0,05} \approx\frac{0{,}9772339 - 0{,}9704922}{0{,}05} \approx0{,}13483\\ (\text{meses}^{-1}).

Passo 5

O “fim do mundo” ocorre quando o denominador da solução anula, isto é
10^{-c} - c\,k\,T = 0 \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{10^{-c}}{c\,k}.
Para c=0,01 e o k acima,
T = \frac{10^{-0.01}}{0,01\cdot0{,}13483} \approx725\\ \text{meses}
( \approx 60,4 anos).

Resposta

A solução do modelo é
P(t)=\bigl(10^{-0,01} - 0,01\,k\,t\bigr)^{-100},
com
k=\frac{10^{-0,01}-20^{-0,01}}{0,05}\approx0,13483\\ \text{(meses}^{-1}\text{)}.
O tempo de explosão é
T=\frac{10^{-0,01}}{0,01\,k}\approx725\\ \text{meses}.

Exercícios relacionados