Q.21) Equação do fim do mundo. Considere a equação diferencial
, onde
e
. Responda:
a) Considerando
. A equação diferencial acima é um modelo matemático para uma população de pequenos animais, onde o tempo(t) é mensurado em meses. Resolva a equação diferencial sujeita a condição inicial
e o fato de que a população animal dobrou em 5 meses.
b) A equação diferencial acima é chamada de equação do fim do mundo porque a população
exibe um crescimento infinito ao longo de um intervalo de tempo finito (
), isto é, há algum instante T na qual
quando
. Encontre T .
a) Considerando
b) A equação diferencial acima é chamada de equação do fim do mundo porque a população
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com
e
. No item (a) usamos
, a condição inicial
e o fato de que
. No item (b) precisamos achar o instante
em que
quando
. Vamos resolver por separação de variáveis e depois determinar o tempo de explosão.
Passo 2
Separamos variáveis e integramos:
Para
,
Reescrevendo,
onde
é constante a determinar.
Passo 3
Aplicamos
. Em
temos
logo a solução geral fica
Passo 4
Usamos
para encontrar
. Com
:
Assim
Passo 5
O “fim do mundo” ocorre quando o denominador da solução anula, isto é
Para
e o
acima,
(
anos).
Resposta
A solução do modelo é
com
O tempo de explosão é