Q.25) De acordo com a Lei de Resfriamento de Newton, um corpo a temperatura T esfria-se a uma taxa proporcional a diferença entre a temperatura do ar adjacente. Uma panela de sopa fervendo a 100^{\circ} \mathrm{C} é levada a uma sala em que 0 ar está a 20^{\circ} \mathrm{C} e é deixada para esfriar. Após 1 hora sua temperatura é de 60^{\circ} \mathrm{C}. Quanto tempo adicional é necessário para que esfrie a 30^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado trata da Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura T de um corpo é proporcional à diferença entre T e a temperatura ambiente T_a. Aqui temos T_a=20^\circ\mathrm{C}, T(0)=100^\circ\mathrm{C}, e após 1 hora T(1)=60^\circ\mathrm{C}. Queremos saber quanto tempo extra é preciso para chegar a 30^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial e resolvemos por separação de variáveis:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_a\bigr).
Separando e integrando,
\int \frac{dT}{T - T_a} = -k \int dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|T - T_a\bigr| = -k t + C.
Exponenciando e usando T(0),
T(t) - T_a = \bigl(T(0)-T_a\bigr)e^{-k t}.

Passo 3

Substituímos T(0)=100 e T_a=20, de modo que T(t)=20 + 80e^{-k t}. Como T(1)=60,
60 - 20 = 80e^{-k\cdot1} \quad\Longrightarrow\quad 40 = 80e^{-k} \quad\Longrightarrow\quad e^{-k} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad k = \ln 2.

Passo 4

Para achar t tal que T(t)=30, usamos
30 - 20 = 80e^{-k t} \quad\Longrightarrow\quad 10 = 80e^{- (\ln 2)\,t} \quad\Longrightarrow\quad e^{- (\ln 2)\,t} = \tfrac{1}{8} \quad\Longrightarrow\quad t = 3\\ \text{horas}.
Como já se passou 1 hora, o tempo adicional é 3 - 1 = 2 horas.

Resposta

São necessárias mais 2 horas para a sopa atingir 30^\circ\mathrm{C}.

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