Q.25) De acordo com a Lei de Resfriamento de Newton, um corpo a temperatura T esfria-se a uma taxa proporcional a diferença entre a temperatura do ar adjacente. Uma panela de sopa fervendo a 100^{\circ} \mathrm{C} é levada a uma sala em que 0 ar está a 20^{\circ} \mathrm{C} e é deixada para esfriar. Após 1 hora sua temperatura é de 60^{\circ} \mathrm{C}. Quanto tempo adicional é necessário para que esfrie a 30^{\circ} \mathrm{C} ?
Passo 1
O enunciado trata da Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura T de um corpo é proporcional à diferença entre T e a temperatura ambiente T_a. Aqui temos T_a=20^\circ\mathrm{C}, T(0)=100^\circ\mathrm{C}, e após 1 hora T(1)=60^\circ\mathrm{C}. Queremos saber quanto tempo extra é preciso para chegar a 30^\circ\mathrm{C}.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial e resolvemos por separação de variáveis:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_a\bigr).
Separando e integrando,
\int \frac{dT}{T - T_a} = -k \int dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|T - T_a\bigr| = -k t + C.
Exponenciando e usando T(0),
T(t) - T_a = \bigl(T(0)-T_a\bigr)e^{-k t}.
Passo 3
Substituímos T(0)=100 e T_a=20, de modo que T(t)=20 + 80e^{-k t}. Como T(1)=60,