Q.24) Em urna certa reação química um composto
decompõe-se a urna taxa proporcional a quantidade de
que permanecem. Sabe-se por experiências que 8 g de
diminuem para 4 g em 2 horas. Em que instante restará somente 1 g ? Quanto tempo é preciso esperar para que exista menos de
dessa substância
?
Passo 1
O enunciado descreve uma reação de decaimento em que a taxa de diminuição de
é proporcional à quantidade restante. Isso leva à equação diferencial de primeira ordem
cuja solução geral é
Dos dados,
g e
g em 2 horas. Vamos usar isso para determinar
e depois responder às perguntas.
Passo 2
Para achar
, impomos
Dividindo por
e aplicando logaritmo natural, vem
Passo 3
Queremos o instante
tal que
g. Substituindo na solução,
Como
, obtemos
Logo, restará apenas
g em
horas.
Passo 4
Para achar o tempo necessário até que
g, resolvemos
e portanto
Assim, após aproximadamente
horas haverá menos de
g.
Resposta
a)
horas.
b) Aproximadamente horas.
b) Aproximadamente