Q.24) Em urna certa reação química um composto X decompõe-se a urna taxa proporcional a quantidade de X que permanecem. Sabe-se por experiências que 8 g de X diminuem para 4 g em 2 horas. Em que instante restará somente 1 g ? Quanto tempo é preciso esperar para que exista menos de 1 / 3 \mathrm{~g} dessa substância X ?

Passo 1

O enunciado descreve uma reação de decaimento em que a taxa de diminuição de \,X é proporcional à quantidade restante. Isso leva à equação diferencial de primeira ordem
\frac{dX}{dt} = -k\,X,
cuja solução geral é
X(t)=X_0\,e^{-k t}.
Dos dados, X(0)=8 g e X(2)=4 g em 2 horas. Vamos usar isso para determinar k e depois responder às perguntas.

Passo 2

Para achar k, impomos
4 = 8\,e^{-2k}.
Dividindo por 8 e aplicando logaritmo natural, vem
e^{-2k} = \tfrac12 \qquad\Longrightarrow\qquad -2k = \ln\bigl(\tfrac12\bigr) = -\ln 2 \qquad\Longrightarrow\qquad k = \frac{\ln 2}{2}.

Passo 3

Queremos o instante t tal que X(t)=1 g. Substituindo na solução,
1 = 8\,e^{-k t} \qquad\Longrightarrow\qquad e^{-k t} = \tfrac18 \qquad\Longrightarrow\qquad -k t = \ln\bigl(\tfrac18\bigr) = -3\ln 2.
Como k = \tfrac{\ln 2}{2}, obtemos
t = \frac{3\ln 2}{k} = \frac{3\ln 2}{(\ln 2)/2} = 6.
Logo, restará apenas 1 g em 6 horas.

Passo 4

Para achar o tempo necessário até que X(t)<\tfrac13 g, resolvemos
8\,e^{-k t} < \tfrac13 \qquad\Longrightarrow\qquad e^{-k t} < \tfrac{1}{24} \qquad\Longrightarrow\qquad -k t < \ln\bigl(\tfrac1{24}\bigr) = -\ln 24
e portanto
t > \frac{\ln 24}{k} = \frac{\ln 24}{(\ln 2)/2} = 2\,\frac{\ln 24}{\ln 2} \approx 9{,}17.
Assim, após aproximadamente 9{,}17 horas haverá menos de \tfrac13 g.

Resposta

a) 6 horas.
b) Aproximadamente 9{,}17 horas.

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