Encontre as soluções gerais das equações diferenciais abaixo:
\frac{d y}{d x}+y=x e^{-x}+1

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear
\frac{dy}{dx} + y = x e^{-x} + 1.
Vamos usar o método do fator integrante: primeiro colocamos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
identificamos P(x) e construímos o fator integrante \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.

Passo 2

Na equação
\frac{dy}{dx} + y = x e^{-x} + 1
temos P(x)=1 e Q(x)=x e^{-x}+1. Logo o fator integrante é
\mu(x) = e^{\int 1\,dx} = e^x.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=e^x:
e^x\frac{dy}{dx} + e^x y = e^x\bigl(x e^{-x} + 1\bigr).
No lado direito simplificamos e^x\cdot x e^{-x}=x, ficando
e^x\frac{dy}{dx} + e^x y = x + e^x.

Passo 4

Observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada de e^x y:
\frac{d}{dx}\bigl(e^x y\bigr) = e^x\frac{dy}{dx} + e^x y.
Portanto a equação vira
\frac{d}{dx}\bigl(e^x y\bigr) = x + e^x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^x y = \int \bigl(x + e^x\bigr)\,dx + C.
Calculando a integral:
\int x\,dx = \tfrac{x^2}{2}, \quad \int e^x\,dx = e^x,
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e^x y = \frac{x^2}{2} + e^x + C.

Passo 6

Isolamos y dividindo por e^x:
y = e^{-x}\Bigl(\tfrac{x^2}{2} + e^x + C\Bigr) = \frac{x^2}{2}e^{-x} + 1 + C e^{-x}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = 1 + \frac{x^2}{2}e^{-x} + C e^{-x},
onde C é a constante arbitrária.

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