Encontre as soluções gerais das equações diferenciais abaixo:
\frac{d y}{d x}+0,5 y=1,5 x^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + 0,5\,y = 1,5\,x^2
e pede a solução geral. O conteúdo é equação diferencial linear e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocando na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
identificamos P(x)=0{,}5 e Q(x)=1{,}5\,x^2. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 0{,}5\,dx} = e^{0{,}5x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{0{,}5x}\frac{dy}{dx} + 0{,}5\,e^{0{,}5x}y = 1{,}5\,x^2\,e^{0{,}5x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{0{,}5x}y, ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(e^{0{,}5x}y\bigr) = 1{,}5\,x^2\,e^{0{,}5x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{0{,}5x}y = \int 1{,}5\,x^2\,e^{0{,}5x}\,dx + C.
Para calcular \displaystyle\int 1{,}5\,x^2\,e^{0{,}5x}dx usamos o método de partes (ou tabela de integração) e obtemos
\int 1{,}5\,x^2\,e^{0{,}5x}dx = (3x^2 - 12x + 24)\,e^{0{,}5x} + K.
Logo
e^{0{,}5x}y = (3x^2 - 12x + 24)\,e^{0{,}5x} + C \quad\Longrightarrow\quad y = 3x^2 - 12x + 24 + C\,e^{-0{,}5x}.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(x) = 3x^2 - 12x + 24 + C\,e^{-\tfrac{x}{2}},}
onde C é constante arbitrária.

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