21 fios de cobre de comprimento l e diâmetro d=1,69 mm são ligados em paralelo para formar um cabo. Qual deve ser o diâmetro D, em mm, de um único fio de cobre de mesmo comprimento l para que sua resistência seja a mesma do cabo? (a) 1,69 (b) 2,97 (c) 4,10 (d) 4,88 (e) 6,24 \quad 7,74

Passo 1

O enunciado diz que temos 21 fios de cobre, cada um de comprimento l e diâmetro d=1{,}69 mm, ligados em paralelo, e pede o diâmetro D de um único fio de mesmo comprimento l cuja resistência seja igual à resistência equivalente desse cabo.

Passo 2

A resistência de um fio de comprimento l e área de seção transversal A é
R = \rho \,\frac{l}{A},
onde \rho é a resistividade do cobre. Como cada fio tem diâmetro d, sua área é
A = \frac{\pi d^2}{4},
logo a resistência de um fio é
R = \rho\,\frac{l}{\pi d^2/4} = \frac{4\rho\,l}{\pi d^2}.

Passo 3

Quando ligamos N=21 fios idênticos em paralelo, a resistência equivalente é
R_{\text{eq}} = \frac{R}{N} = \frac{1}{21}\,\frac{4\rho\,l}{\pi d^2}.

Passo 4

Queremos um único fio de diâmetro D e comprimento l cuja resistência seja R_{\text{eq}}, ou seja,
\frac{4\rho\,l}{\pi D^2} = \frac{1}{21}\,\frac{4\rho\,l}{\pi d^2}.
Cancelando 4\rho\,l/(\pi) dos dois lados, obtemos
\frac{1}{D^2} = \frac{1}{21\,d^2} \quad\Longrightarrow\quad D^2 = 21\,d^2 \quad\Longrightarrow\quad D = d\sqrt{21}.

Passo 5

Substituindo d=1{,}69 mm e \sqrt{21}\approx4{,}583, vem
D \approx 1{,}69 \times 4{,}583 \approx 7{,}75\text{ mm}.

Resposta

(e) 7,74 (aproximadamente 7,75 mm)

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