As placas de um capacitor esférico têm raios de 38,3 \mathrm{~mm} e 42,3 \mathrm{~mm}. Qual é a área, \mathrm{em} \mathrm{cm}^{2}, das placas de um capacitor de placas paralelas com a mesma capacitância e a mesma distância entre as placas?

Passo 1

O enunciado nos dá um capacitor esférico cujas “placas” são duas cascas concêntricas de raios interno e externo a e b, valendo
a = 38,3\,\mathrm{mm},\quad b = 42,3\,\mathrm{mm},
e pede a área A de um capacitor de placas paralelas que (1) tenha a mesma capacitância e (2) mantenha a mesma distância entre as placas, que é
d = b - a = 42,3\,\mathrm{mm} - 38,3\,\mathrm{mm} = 4,0\,\mathrm{mm}.
O conteúdo principal é usar a fórmula da capacitância de um capacitor esférico e a de um capacitor de placas paralelas e depois igualá-las.

Passo 2

A capacitância de um capacitor esférico de cascas concêntricas é dada por
C_{\rm esférico} = 4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{ab}{\,b - a\,}.é

Passo 3

A capacitância de um capacitor de placas paralelas, com área A e separação d, é
C_{\rm placas} = \varepsilon_{0}\,\frac{A}{d}.

Passo 4

Para ter a mesma capacitância e a mesma separação, igualamos
4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{ab}{\,b - a\,} \;=\; \varepsilon_{0}\,\frac{A}{d}.
Como d = b - a, simplifica-se \varepsilon_{0} e (b-a), resultando em
A = 4\pi\,a\,b.

Passo 5

Convém converter a e b para centímetros antes de calcular A. Temos
a = 3,83\,\mathrm{cm},\quad b = 4,23\,\mathrm{cm},
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A = 4\pi\times(3,83\,\mathrm{cm})\times(4,23\,\mathrm{cm}).
Fazendo as contas,
3,83\times4,23 \approx 16,2009\quad\Rightarrow\quad A \approx 4\pi\times16,2009\approx 203,6\\ \mathrm{cm}^2.

Resposta

A área das placas deve ser aproximadamente 203,6\\ \mathrm{cm}^2.

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