Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitância de 104 pF , uma área das placas de 91 \mathrm{~cm}^{2} e um dielétrico com constante dielétrica \kappa=6,9 que preenche totalmente o espaço entre as placas. Para uma diferença de potencial de 47 V, calcule o valor absoluto da densidade superficial de cargas induzidas no dielétrico. Dê a resposta em \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}.
\begin{array}{lllll}\text { (a) } 269,7 & \text { (b) } 397,8 & \text { \text{(c)} } 459,3 & \text { (e) } 672,9 & \text { (f) } 776,5\end{array}

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas com capacitância C=104\text{ pF}, área das placas A=91\text{ cm}^2 e dielétrico de constante \kappa=6{,}9 preenchendo completamente o espaço entre as placas. Para uma diferença de potencial V=47\text{ V}, pede-se a densidade superficial de cargas induzidas no dielétrico (carga ligada), em \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2. Vamos usar a relação entre carga livre, carga ligada e permitividade do dielétrico.

Passo 2

A densidade de carga livre na superfície das placas é
\sigma_{\text{livre}}=\frac{Q_{\text{livre}}}{A}=\frac{C\,V}{A}\,.

Passo 3

A carga ligada na superfície do dielétrico é dada por
\sigma_{\text{ligada}}=\varepsilon_0(\kappa-1)\,E
e, como dentro do dielétrico
E=\frac{\sigma_{\text{livre}}}{\varepsilon_0\,\kappa}\,,
segue que
\sigma_{\text{ligada}} =\varepsilon_0(\kappa-1)\,\frac{\sigma_{\text{livre}}}{\varepsilon_0\,\kappa} =\sigma_{\text{livre}}\;\frac{\kappa-1}{\kappa}\,.

Passo 4

Convertendo a área e calculando \sigma_{\text{livre}}:
A=91\text{ cm}^2=9{,}1\times10^{-3}\text{ m}^2, \qquad \sigma_{\text{livre}} =\frac{104\times10^{-12}\times47}{9{,}1\times10^{-3}} \approx5{,}37\times10^{-7}\text{ C/m}^2.
Então
\sigma_{\text{ligada}} =5{,}37\times10^{-7}\times\frac{6{,}9-1}{6{,}9} \approx4{,}59\times10^{-7}\text{ C/m}^2.

Passo 5

Convertendo para \mathrm{nC}/\mathrm{m}^2:
4{,}59\times10^{-7}\text{ C/m}^2 =459{,}3\text{ nC/m}^2.

Resposta

459{,}3\text{ nC/m}^2 (alternativa (c))

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