Um barco a vela parte do lado norte-americano do lago Erie para um ponto no lado canadense, 90,0 km ao norte. O navegante, contudo, termina 50,0 \mathrm{~km} a leste do ponto de partida.
em que direção deve navegar para chegar ao ponto desejado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Informações fornecidas:
  • O ponto desejado fica 90{,}0\\ \text{km} ao norte do ponto de partida.
  • O barco, em vez disso, terminou 50{,}0\\ \text{km} a leste do ponto de partida.
Pergunta do enunciado:
  • Em que direção (ou seja, que rumo) o barco deve navegar a partir da sua posição atual para chegar ao ponto desejado?

Passo 2

Vamos representar o problema num sistema de coordenadas plano para facilitar. Escolho:
  • eixo y apontando para o norte;
  • eixo x apontando para o leste.
    Coloco o ponto de partida na origem (0,0).
  • O ponto desejado (no Canadá) tem coordenadas (0,\,90{,}0) em km (mesmo x, y=90{,}0).
  • A posição atual do barco (onde ele terminou) é 50{,}0\\ \text{km} a leste do ponto de partida, ou seja (50{,}0,\,0).

Passo 3

Precisamos do vetor que vai da posição atual do barco até o ponto desejado. Subtrai-se coordenadas:
  • Coordenada x do deslocamento: \Delta x = 0 - 50{,}0 = -50{,}0 (km). O sinal negativo indica que o destino está para o oeste da posição atual.
  • Coordenada y do deslocamento: \Delta y = 90{,}0 - 0 = 90{,}0 (km). Positivo indica norte.
Logo o vetor deslocamento é (\Delta x,\Delta y)=(-50{,}0,\,90{,}0).

Passo 4

Agora determinamos a direção desse vetor em relação aos pontos cardeais. Há duas formas usuais de expressar direção: ângulo a partir do norte (norte como referência) ou a partir do oeste/leste. Vou achar o ângulo medido a partir do norte, virando em direção ao oeste (ou seja, “a oeste do norte”), porque \Delta y é positivo (norte) e \Delta x é negativo (oeste).
No triângulo retângulo formado, o ângulo \theta a oeste do norte satisfaz:
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{|\Delta x|}{\Delta y}=\frac{50{,}0}{90{,}0}.
Explicando a fórmula: \tan(\theta) é a razão entre o comprimento na direção leste-oeste (perpendicular ao norte) e o comprimento na direção norte, portanto aqui usamos \dfrac{50}{90}.

Passo 5

Calcula-se o ângulo:
\theta=\arctan\!\left(\frac{50{,}0}{90{,}0}\right)=\arctan\!\left(\frac{5}{9}\right).
Aproximando numericamente (usando tabela ou calculadora), tem-se
\theta\approx 29{,}0^\circ.
Interpretação: isso significa “ 29{,}0^\circ a oeste do norte”. Alternativamente, em relação ao oeste, seria 90^\circ-29{,}0^\circ=61{,}0^\circ ao norte do oeste (aproximações arredondadas aos algarismos dados).

Passo 6

Resumo em palavras amigáveis: o barco está a leste do ponto de partida e precisa ir para um ponto que está ao norte do ponto de partida. Portanto ele deve navegar em direção ao norte, mas inclinando-se para o oeste — especificamente 29{,}0^\circ a oeste do norte — até alcançar o ponto desejado.

Resposta

Navegar 29{,}0^\circ a oeste do norte.

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