• 37 Três vetores são dados por \vec{a}=3,0 \hat{\mathrm{i}}+3,0 \hat{\mathrm{j}}-2,0 \hat{\mathrm{k}}, \vec{b}=-1,0 \hat{\mathrm{i}}-4,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}} e \vec{c}=2,0 \hat{\mathrm{i}}+2,0 \hat{\mathrm{j}}+1,0 \hat{\mathrm{k}}. Determine
    \vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede um produto escalar envolvendo a soma de dois deles. Os dados são (copiado do enunciado):
\vec{a}=3{,}0\\ \hat{\mathrm{i}}+3{,}0\\ \hat{\mathrm{j}}-2{,}0\\ \hat{\mathrm{k}}, \qquad \vec{b}=-1{,}0\\ \hat{\mathrm{i}}-4{,}0\\ \hat{\mathrm{j}}+2{,}0\\ \hat{\mathrm{k}}, \qquad \vec{c}=2{,}0\\ \hat{\mathrm{i}}+2{,}0\\ \hat{\mathrm{j}}+1{,}0\\ \hat{\mathrm{k}}.
O que se pede explicitamente é calcular
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}).

Passo 2

Relembrando a definição e propriedades que vamos usar (explicadinho):
  • Se \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Aqui cada u_x,u_y,u_z e v_x,v_y,v_z são as componentes dos vetores nas direções \hat{\mathrm{i}},\hat{\mathrm{j}},\hat{\mathrm{k}}.
  • O produto escalar é distributivo em relação à soma, isto é
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.
Podemos usar essa propriedade ou simplesmente somar \vec{b}+\vec{c} primeiro e depois aplicar a definição componente a componente. Vou fazer a soma primeiro (é mais direto aqui) e depois mostrar a checagem usando a distributividade para você ficar seguro.

Passo 3

Calcular \vec{b}+\vec{c} componente a componente (peguei as componentes de \vec{b} e \vec{c} do enunciado):
\vec{b}+\vec{c} = (-1{,}0+2{,}0)\\ \hat{\mathrm{i}} + (-4{,}0+2{,}0)\\ \hat{\mathrm{j}} + (2{,}0+1{,}0)\\ \hat{\mathrm{k}}.
Fazendo as somas:
\vec{b}+\vec{c}=1{,}0\\ \hat{\mathrm{i}}-2{,}0\\ \hat{\mathrm{j}}+3{,}0\\ \hat{\mathrm{k}}.

Passo 4

Agora aplico a definição do produto escalar entre \vec{a}=(3{,}0,\,3{,}0,\,-2{,}0) e \vec{b}+\vec{c}=(1{,}0,\,-2{,}0,\,3{,}0):
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) =3{,}0\cdot1{,}0 + 3{,}0\cdot(-2{,}0) + (-2{,}0)\cdot3{,}0.
Calculemos termo a termo:
3{,}0\cdot1{,}0 = 3{,}0,\qquad 3{,}0\cdot(-2{,}0) = -6{,}0,\qquad (-2{,}0)\cdot3{,}0 = -6{,}0.
Somando:
3{,}0 + (-6{,}0) + (-6{,}0) = -9{,}0.

Passo 5

Checagem usando a propriedade distributiva (só para confirmar): calcule \vec{a}\cdot\vec{b} e \vec{a}\cdot\vec{c} separadamente (peguei as componentes de \vec{b} e \vec{c} do enunciado):
\vec{a}\cdot\vec{b}=3{,}0\cdot(-1{,}0)+3{,}0\cdot(-4{,}0)+(-2{,}0)\cdot2{,}0=-3{,}0-12{,}0-4{,}0=-19{,}0,
\vec{a}\cdot\vec{c}=3{,}0\cdot2{,}0+3{,}0\cdot2{,}0+(-2{,}0)\cdot1{,}0=6{,}0+6{,}0-2{,}0=10{,}0.
Somando -19{,}0 + 10{,}0 = -9{,}0, que coincide com o cálculo direto acima. Boa — está consistente.

Resposta

-9{,}0

Exercícios relacionados