21. \int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} d x
]
]
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral imprópria
que envolve um limite quando o limite superior tende a infinito. O conteúdo necessário é saber encontrar a primitiva de
e, em seguida, analisar o comportamento dessa primitiva quando
.
Passo 2
Vamos achar a primitiva de
. Note que podemos usar a substituição natural ou lembrar que
Se fizermos
, então
. Assim,
Passo 3
Agora escrevemos a integral imprópria como limite:
Como
, sobra
Passo 4
O termo
cresce sem limite quando
, logo
. Portanto, a integral não converge: ela diverge para infinito.
Resposta
A integral diverge (tende a
).