21. \int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} d x
]

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx
que envolve um limite quando o limite superior tende a infinito. O conteúdo necessário é saber encontrar a primitiva de \frac{\ln x}{x} e, em seguida, analisar o comportamento dessa primitiva quando x\to\infty.

Passo 2

Vamos achar a primitiva de \frac{\ln x}{x}. Note que podemos usar a substituição natural ou lembrar que
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
Se fizermos u=\ln x, então du=\frac{1}{x}dx. Assim,
\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C = \frac{(\ln x)^{2}}{2}+C.

Passo 3

Agora escrevemos a integral imprópria como limite:
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b}\frac{\ln x}{x}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[\frac{(\ln x)^{2}}{2}\right]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty} \Bigl(\tfrac{(\ln b)^{2}}{2}-\tfrac{(\ln1)^{2}}{2}\Bigr).
Como \ln1=0, sobra
\lim_{b\to\infty}\frac{(\ln b)^{2}}{2}.

Passo 4

O termo \ln b cresce sem limite quando b\to\infty, logo (\ln b)^{2}/2\to\infty. Portanto, a integral não converge: ela diverge para infinito.

Resposta

A integral diverge (tende a +\infty).

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