Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando cada resposta com os cálculos matemáticos correspondentes.
a) Se f(x)=2^{x} \quad 5 x então a taxa de variação da f em x_{0}=5 é 5 \ln 2.
b) função f(x)=x^{3} \quad x tem 3 pontos críticos e 2 são mínimos locais.
c) Uma primitiva da função f(x)=\frac{x \quad 1}{x^{3} \quad 3 x} é a função F(x)=\frac{\ln \left|x^{3} \quad 2 x\right|}{3}+\pi.

Passo 1

O enunciado pede que a gente marque cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F). Os tópicos envolvem derivada para taxa de variação, pontos críticos e primitiva de função racional. Vamos tratar cada caso separadamente usando cálculo diferencial e integral.

Passo 2

(a) Supondo que
f(x)=2^{x}+5x,
a taxa de variação em x_{0} é f'(x_{0}). Calculamos primeiro
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2^{x}\bigr)+\frac{d}{dx}(5x) =2^{x}\ln2+5.
Em x_{0}=5 temos
f'(5)=2^{5}\ln2+5=32\ln2+5\neq5\ln2.
Logo a afirmação “a taxa de variação em x_{0}=5 é 5\ln2” é falsa.

Passo 3

(b) Seja por exemplo
f(x)=x^{3}-x.
Os pontos críticos surgem de
f'(x)=3x^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}},
isto é, há apenas 2 pontos críticos (não 3). Portanto a afirmação “tem 3 pontos críticos e 2 são mínimos locais” é falsa.

Passo 4

(c) Dizem que uma primitiva de
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{3}+3x}
seria
F(x)=\frac{1}{3}\ln\bigl|x^{3}+2x\bigr|+\pi.
Para checar, derivamos F:
F'(x) =\frac{1}{3}\,\frac{3x^{2}+2}{x^{3}+2x} =\frac{3x^{2}+2}{3x(x^{2}+2)}.
Mas
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+3)},
e claramente
\frac{3x^{2}+2}{3x(x^{2}+2)} \neq\frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+3)}.
Logo F'(x)\neq f(x) e a primitiva dada está incorreta. A afirmação é falsa.

Resposta

a) F
b) F
c) F

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