Considere a equação diferencial
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0
(a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma
y_{1}(x)=e^{r x}
para r um número real fixo.
(b) Encontre uma solução da equação diferencial que seja uma função de 10 grau.
(c) Encontre a solução geral da equação diferencial.
(d) Encontre a solução do PVI
\left\{\begin{array}{l} (x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0 \\\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0
É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de x. Vamos usar:
– Para (a) o palpite y_1(x)=e^{r x}.
– Para (b) o palpite de polinômio de grau 1 (veremos que não há grau 10).
– Em (c) a combinação linear de duas soluções lineares independentes.
– Em (d) imposto de condições iniciais para determinar constantes.

Passo 2

(a) Substituindo y_1=e^{r x}\) temos \[y_1'=r\,e^{r x},\qquad y_1''=r^2\,e^{r x}.
Logo a equação fica
(x+3)r^2e^{r x}+(x+2)r\,e^{r x}-e^{r x} =e^{r x}\bigl[x(r^2+r)+(3r^2+2r-1)\bigr]=0.
Como isso vale para todo x, imponho
\begin{cases} r^2+r=0,\\\\ 3r^2+2r-1=0. \end{cases}
Da primeira r(r+1)=0\implies r=0\] ou \(r=-1. Só r=-1 satisfaz a segunda.
Portanto
\boxed{y_1(x)=e^{-x}.}

Passo 3

(b) Supondo um polinômio de grau N, o termo de maior grau obedece
a_N\bigl[N^2-1\bigr]x^N=0\implies N^2=1\implies N=1\\ (\text{ou }-1\text{ não faz sentido}).ã
Logo só há polinômios de grau 1 como solução. Escreva
y_2(x)=A\,x+B,\quad y_2'=A,\quad y_2''=0.
Na EDO:
(x+3)\cdot0+(x+2)A-(Ax+B)=A x+2A-Ax-B=2A-B=0 \implies B=2A.
Escolhendo A=1, obtemos
\boxed{y_2(x)=x+2.}

Passo 4

(c) Como é uma EDO linear de segunda ordem, a solução geral é
y(x)=C_1\,y_1(x)+C_2\,y_2(x) =C_1e^{-x}+C_2(x+2).

Passo 5

(d) Aplicando as condições iniciais em x=1\): \[y(1)=C_1e^{-1}+C_2(1+2)=1, \qquad y'(x)=-C_1e^{-x}+C_2 \implies y'(1)=-C_1e^{-1}+C_2=3.
Temos o sistema
\begin{cases} C_1e^{-1}+3C_2=1,\\\\ -\,C_1e^{-1}+C_2=3. \end{cases}
Somando as duas equações: 4C_2=4\implies C_2=1\]. Da primeira: \(C_1e^{-1}=1-3\cdot1=-2\implies C_1=-2e.
Portanto a solução do PVI é
\boxed{y(x)=-2e\,e^{-x}+(x+2)= -2e^{\,1-x}+x+2.}

Resposta

(a) y_1(x)=e^{-x}.
(b) y_2(x)=x+2.
(c) y(x)=C_1e^{-x}+C_2(x+2).
(d) y(x)=-2e^{1-x}+x+2.

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