Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
\int_{C} x^{2} d x+2 x^{2} y d y, onde C é o triângulo com vértices (0,0),(2,0),(2,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int_{C} x^{2}\,dx \;+\; 2x^{2}y\,dy
onde C é o triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (2,2), orientado positivamente (sentido anti-horário).
O conteúdo é aplicação do Teorema de Green, que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a região D interna a C.

Passo 2

Pela fórmula de Green:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA
aqui P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=2x^{2}y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y) =4xy, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) =0.
Portanto o integrando é \,4xy-0=4xy.

Passo 3

A região D é o triângulo de vértices (0,0), (2,0), (2,2).
Podemos descrevê-la como
0 \le x \le 2,\qquad 0 \le y \le x,
pois o lado inclinado liga (0,0) a (2,2) pela reta y=x.

Passo 4

Montamos a integral dupla:
\iint_{D}4xy\,dA =\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{x}4x\,y\,dy\,dx.
Primeiro integramos em y:
\int_{0}^{x}4x\,y\,dy =4x\;\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{x} =2x\cdot x^{2} =2x^{3}.
Agora em x:
\int_{0}^{2}2x^{3}\,dx =2\;\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} =\frac{2}{4}\,16 =8.

Resposta

\displaystyle 8

Exercícios relacionados