Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
\int_{C} x d y-y d x, onde C é o círculo x^{2}+y^{2}=a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \int_{C} x\,dy - y\,dx
onde C é o círculo x^{2}+y^{2}=a^{2} percorrido no sentido anti-horário (orientação positiva). Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha fechada numa integral dupla sobre o interior do círculo.

Passo 2

Escrevemos a integral de linha na forma
\displaystyle \oint_{C}P\,dx + Q\,dy
identificando
P(x,y) = -y, \quad Q(x,y) = x.
O Teorema de Green diz que
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é o disco x^{2}+y^{2}\le a^{2}.

Passo 3

Vamos calcular o integrando:
\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (x)}{\partial x}=1,
\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (-y)}{\partial y}=-1.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1 - (-1)=2.

Passo 4

Substituindo na integral dupla, temos
\oint_{C} x\,dy - y\,dx = \iint_{D}2\,dA = 2\iint_{D}dA = 2\cdot(\text{área de }D) = 2\cdot\pi a^{2} = 2\pi a^{2}.á

Resposta

2\pi a^{2}

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