[21] integral 1(t^2-1)^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 1(t^2-1)^2,dt. Isso é um caso de integração de função racional, e o método mais direto aqui é decompor em frações parciais após fatorar o denominador.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
(t^2-1)^2 = (t-1)^2,(t+1)^2

Passo 3

Em seguida, fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
1(t-1)^2(t+1)^2 = At-1 + B(t-1)^2 + Ct+1 + D(t+1)^2

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (t-1)^2(t+1)^2 e obtemos
1 = A(t-1)(t+1)^2 + B(t+1)^2 + C(t+1)(t-1)^2 + D(t-1)^2

Passo 5

Para achar B e D, basta avaliar em t=1 e t=-1:
t=1: 1 = B,(1+1)^2 = 4B implies B=tfrac14, t=-1: 1 = D,(-1-1)^2 = 4D implies D=tfrac14

Passo 6

Para encontrar A e C, podemos usar as equações que vêm dos coeficientes de potências de t, ou simplesmente resolver:
A + C = 0, A - C + B + D = 0,

Passo 7

sabendo que B=D=tfrac14. Dessas equações vem
A=-tfrac14, C=+tfrac14

Passo 8

Então a integral vira
integral 1(t^2-1)^2,dt = integrall(-1/4t-1 + 1/4(t-1)^2 + 1/4t+1 + 1/4(t+1)^2r)dt

Passo 9

Agora basta integrar termo a termo:
integral dtt-1 = ln|t-1|, integral dt(t-1)^2 = -1t-1,
e de forma análoga para t+1. Após somar todas as partes e coletar termos semelhantes, chegamos à forma simplificada.

Resposta

14lnl|t+1t-1r| - t2(t^2-1) + C

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