23 \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-x-2}{(x-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-x-2}{(x-2)^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{x^{2}-x-2}{(x-2)^{2}}.
  • O ponto em que o limite é pedido é x \to 2.

Passo 2

Primeiro vamos olhar para o numerador e tentar fatorá‑lo. Para fatorar um trinômio da forma x^{2}+bx+c procuramos dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c. Aqui temos x^{2}-x-2, ou seja b=-1 e c=-2.
Procuramos dois números que somem -1 e multipliquem para -2. Esses números são -2 e +1 porque (-2)+1=-1 e (-2)\cdot 1=-2. Portanto o numerador fatorado é
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).

Passo 3

Substituindo a fatoração na expressão original obtemos, para x\neq2,
\frac{x^{2}-x-2}{(x-2)^{2}}=\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)^{2}}=\frac{x+1}{x-2}.
Observação importante: fizemos a simplificação cancelando um fator (x-2). Essa cancelação é válida apenas para x\neq2. Como estamos calculando um limite em x\to2 (e não avaliando a expressão exatamente em x=2), podemos trabalhar com a forma simplificada para estudar o comportamento quando x se aproxima de 2.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento de \dfrac{x+1}{x-2} quando x\to2.
  • O numerador x+1 tende para 2+1=3, que é um número positivo diferente de zero.
  • O denominador x-2 tende para 0; o sinal do denominador depende do lado pelo qual x se aproxima de 2.
Logo devemos olhar os limites laterais:
  1. Aproximação pela direita ( x\to2^+): então x-2>0 é um número pequeno e positivo, e x+1\to3>0. Assim
\lim_{x\to2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty.
  1. Aproximação pela esquerda ( x\to2^-): então x-2<0 é um número pequeno e negativo, enquanto x+1\to3>0. Assim
\lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty.
Como os limites laterais são diferentes (um vai para +\infty e o outro para -\infty), o limite bilateral não existe como número finito nem como infinito único.

Passo 5

Conclusão didática e rápida: ao fatorar o numerador e simplificar obtemos uma função cujo denominador muda de sinal ao atravessar 2, fazendo com que as duas aproximações laterais tendam a sinais opostos de infinito. Na prova, é suficiente fatorar, simplificar e verificar os sinais dos limites laterais — quando forem diferentes, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe; \displaystyle \lim_{x\to2^-}\frac{x^{2}-x-2}{(x-2)^{2}}=-\infty e \displaystyle \lim_{x\to2^+}\frac{x^{2}-x-2}{(x-2)^{2}}=+\infty.

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