Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a ser analisada é
. - O ponto em que o limite é pedido é
.
Passo 2
Primeiro vamos olhar para o numerador e tentar fatorá‑lo. Para fatorar um trinômio da forma
procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Aqui temos
, ou seja
e
.
Procuramos dois números que somem
e multipliquem para
. Esses números são
e
porque
e
. Portanto o numerador fatorado é
Passo 3
Substituindo a fatoração na expressão original obtemos, para
,
Observação importante: fizemos a simplificação cancelando um fator
. Essa cancelação é válida apenas para
. Como estamos calculando um limite em
(e não avaliando a expressão exatamente em
), podemos trabalhar com a forma simplificada para estudar o comportamento quando
se aproxima de
.
Passo 4
Agora analisamos o comportamento de
quando
.
- O numerador
tende para , que é um número positivo diferente de zero. - O denominador
tende para ; o sinal do denominador depende do lado pelo qual se aproxima de .
Logo devemos olhar os limites laterais:
- Aproximação pela direita (
): então é um número pequeno e positivo, e . Assim
- Aproximação pela esquerda (
): então é um número pequeno e negativo, enquanto . Assim
Como os limites laterais são diferentes (um vai para
e o outro para
), o limite bilateral não existe como número finito nem como infinito único.
Passo 5
Conclusão didática e rápida: ao fatorar o numerador e simplificar obtemos uma função cujo denominador muda de sinal ao atravessar
, fazendo com que as duas aproximações laterais tendam a sinais opostos de infinito. Na prova, é suficiente fatorar, simplificar e verificar os sinais dos limites laterais — quando forem diferentes, o limite bilateral não existe.
Resposta
O limite não existe;
e
.