1.24
O ângulo limite acima do qual ocorre reflexão interna total quando a luz provém de um meio de índice de refração n para o ar é igual a
50^{\circ}. Calcule o índice de refração deste meio material.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: o ângulo limite (ângulo crítico) para reflexão interna total quando a luz vai do meio de índice de refração n para o ar é \,50^\circ.
  • Informação adicional útil (implícita): o índice de refração do ar vale \,1.
  • Pedido: calcular o índice de refração do meio, ou seja, determinar n.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A lei de Snell relaciona os índices de refração e os ângulos de incidência e refração:
n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2.
Aqui cada termo significa:
  • n_1: índice de refração do meio onde o raio está vindo;
  • \theta_1: ângulo do raio com a normal nesse meio (ângulo de incidência);
  • n_2: índice de refração do meio para onde o raio vai;
  • \theta_2: ângulo do raio com a normal no segundo meio (ângulo de refração).
  • Reflexão interna total ocorre quando o raio sai de um meio mais denso para um menos denso (aqui: meio com índice n para ar com índice 1) e o ângulo de incidência excede um certo ângulo crítico \theta_c. No ângulo crítico o raio refratado sai tangente à superfície, ou seja, \theta_2=90^\circ.

Passo 3

Derivação da relação para o ângulo crítico (passo a passo):
  • Usando Snell no caso do ângulo crítico, com n_1=n, \theta_1=\theta_c, n_2=1 e \theta_2=90^\circ, temos
n \sin\theta_c = 1 \cdot \sin 90^\circ.
  • Como \sin 90^\circ = 1, isso simplifica para
n \sin\theta_c = 1.
  • Isolando n,
n = \frac{1}{\sin\theta_c}.
Essa fórmula é intuitiva: quanto menor \sin\theta_c, maior o índice n, porque um meio mais refringente permite reflexão total já em ângulos menores.

Passo 4

Substituição do valor numérico e cálculo:
  • O enunciado deu \theta_c = 50^\circ. Substituindo na fórmula,
n = \frac{1}{\sin 50^\circ}.
  • Usando uma tabela de seno ou calculadora para \sin 50^\circ, obtém-se aproximadamente
\sin 50^\circ \approx 0,7660.
  • Logo
n \approx \frac{1}{0,7660} \approx 1,305\ldots

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo:
  • O índice de refração encontrado é \,n\approx 1,305, um valor razoável para alguns líquidos ou materiais transparentes (lembre que índices típicos variam: ar \approx1, água \approx1,33, vidros comuns entre \approx1,5 etc.).
  • Bom trabalho! Isso mostra que com a fórmula simples derivada da lei de Snell dá para achar n direto. Confia: na prova, identifique a situação (meio mais denso → ar) e aplique n=1/\sin\theta_c.

Resposta

n \approx 1,305

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