21 Um plano beta equidista do vértice e do plano alpha da base de um cone, com beta / / alpha. Calcule a razão entre a área da base do cone e a área da secção transversal determinada no cone pelo plano beta, nessa ordem.

Passo 1

Temos um cone circular reto de altura H e raio da base R. A base está no plano alpha e o vértice está a distância H de alpha. O plano beta é paralelo a alpha e equidista do vértice e de alpha, logo fica a H/2 do vértice. Para resolver usamos semelhança de triângulos no corte longitudinal do cone e depois calculamos razão de áreas.

Passo 2

No corte longitudinal, o semidiâmetro do cone varia linearmente com a altura. Se o semidiâmetro na base (altura H) é R, então na altura H/2 (onde fica beta) o semidiâmetro r satisfaz
rR = H/2H = 12,
logo r = R/2.

Passo 3

A área da base do cone é
Abase = pi R^2
A área da seção circular feita por beta é
Abeta = pi r^2 = pil(R/2r)^2 = pi R^24

Passo 4

A razão pedida entre a área da base e a área da seção em beta é
AbaseAbeta = pi R^2pi R^2/4 = 4

Resposta

4

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