21 Um plano
equidista do vértice e do plano
da base de um cone, com
. Calcule a razão entre a área da base do cone e a área da secção transversal determinada no cone pelo plano
, nessa ordem.
Passo 1
Temos um cone circular reto de altura
e raio da base
. A base está no plano
e o vértice está a distância
de
. O plano
é paralelo a
e equidista do vértice e de
, logo fica a
do vértice. Para resolver usamos semelhança de triângulos no corte longitudinal do cone e depois calculamos razão de áreas.
Passo 2
No corte longitudinal, o semidiâmetro do cone varia linearmente com a altura. Se o semidiâmetro na base (altura
) é
, então na altura
(onde fica
) o semidiâmetro
satisfaz
logo
.
Passo 3
A área da base do cone é
A área da seção circular feita por
é
Passo 4
A razão pedida entre a área da base e a área da seção em
é
Resposta
4