Questão 2 - Classifique as equações diferenciais dadas abaixo e determine suas soluções gerais de acordo com o que foi visto em sala de aula.
(\operatorname{sen} x) \frac{d y}{d x}+(\cos x) y=0
(\operatorname{sen} x) \frac{d y}{d x}+(\cos x) y=0
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que se pede:
- Classificar a equação diferencial (que tipo é).
- Determinar a solução geral (a família de soluções).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Coeficientes dependem apenas de
: e . - A equação envolve apenas
e sua derivada primeira . - Atenção:
em ( ), ponto que pode afetar a divisão por .
Passo 2
Vamos identificar a forma da equação e escolher um método para resolver. Primeiro, escrevo a equação dividindo por
(supondo temporariamente
):
Agora alguns fatos importantes explicados passo a passo:
- A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
onde
e
são funções conhecidas de
. Aqui temos
e
. Por isso a equação é linear de primeira ordem e, como
, é homogênea.
- Outra observação: a equação é também separável porque pode ser rearranjada para colocar
e em lados opostos (veremos isso no próximo passo).
Decisão de método: vou mostrar a resolução por separação (porque é direta e intuitiva) e também apresentar a resolução pelo fator integrante (método padrão para equações lineares), para consolidar a compreensão.
Passo 3
Resolução por separação de variáveis (método direto).
Partindo de
Partindo de
rearranjo para isolar
e
:
Agora separo as variáveis (coloco termos com
de um lado e com
do outro):
Explicação da ideia: integrar
dá uma função só de
, e integrar
dá uma função só de
; assim obtemos uma relação entre
e
.
Agora integro ambos os lados:
Agora integro ambos os lados:
Cálculo das integrais:
- À esquerda:
. - À direita: usar a substituição
. Então
Com o sinal negativo:
onde
é constante de integração (combinando constantes).
Igualando as duas expressões:
Igualando as duas expressões:
onde
é uma constante arbitrária.
Exponenciando ambos os lados para isolar :
Exponenciando ambos os lados para isolar
Escrevendo
(constante positiva) e permitindo que o sinal seja absorvido por uma constante real
(positiva ou negativa), obtemos a solução geral
onde
. Note que
dá a solução trivial
.
Passo 4
Resolução pelo fator integrante (confirmação e interpretação).
Forma padrão já vista:
Forma padrão já vista:
O fator integrante
é definido por
Usando a substituição
novamente, tem-se
. Então
Multiplicando a equação original por
(assumindo
) transforma o lado esquerdo em uma derivada exata:
Logo
onde
é constante. Novamente obtemos
e absorvendo sinais na constante
podemos escrever de maneira mais simples
que coincide com a solução obtida por separação.
Passo 5
Observações finais e domínio:
- A solução geral é
incluindo
que dá
.
- Essa expressão só faz sentido quando
, i.e., para . Em torno de pontos onde deve-se tratar soluções em intervalos separados (intervalos onde mantém o mesmo sinal). - Conclusão: os dois métodos (separação e fator integrante) dão a mesma solução; escolha do método fica a critério — separação é mais direta aqui, fator integrante é o procedimento padrão para equações lineares.
Resposta
Equação diferencial de primeira ordem, linear homogênea (também separável).
(válida para
).