Questão 2 - Classifique as equações diferenciais dadas abaixo e determine suas soluções gerais de acordo com o que foi visto em sala de aula.
(\operatorname{sen} x) \frac{d y}{d x}+(\cos x) y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(\operatorname{sen} x)\,\frac{dy}{dx}+(\cos x)\,y=0.
O que se pede:
  • Classificar a equação diferencial (que tipo é).
  • Determinar a solução geral (a família de soluções).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Coeficientes dependem apenas de x: \operatorname{sen} x e \cos x.
  • A equação envolve apenas y e sua derivada primeira \dfrac{dy}{dx}.
  • Atenção: \operatorname{sen} x=0 em x=k\pi ( k\in\mathbb{Z}), ponto que pode afetar a divisão por \operatorname{sen} x.

Passo 2

Vamos identificar a forma da equação e escolher um método para resolver. Primeiro, escrevo a equação dividindo por \operatorname{sen} x (supondo temporariamente \operatorname{sen} x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,y=0.
Agora alguns fatos importantes explicados passo a passo:
  • A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x. Aqui temos p(x)=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x} e q(x)=0. Por isso a equação é linear de primeira ordem e, como q(x)=0, é homogênea.
  • Outra observação: a equação é também separável porque pode ser rearranjada para colocar y e x em lados opostos (veremos isso no próximo passo).
    Decisão de método: vou mostrar a resolução por separação (porque é direta e intuitiva) e também apresentar a resolução pelo fator integrante (método padrão para equações lineares), para consolidar a compreensão.

Passo 3

Resolução por separação de variáveis (método direto).
Partindo de
\frac{dy}{dx}+\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,y=0,
rearranjo para isolar y e x:
\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,y.
Agora separo as variáveis (coloco termos com y de um lado e com x do outro):
\frac{1}{y}\,dy = -\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,dx.
Explicação da ideia: integrar \dfrac{1}{y}\,dy dá uma função só de y, e integrar -\dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx dá uma função só de x; assim obtemos uma relação entre y e x.
Agora integro ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = -\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,dx.
Cálculo das integrais:
  • À esquerda: \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1.
  • À direita: usar a substituição u=\operatorname{sen} x\Rightarrow du=\cos x\,dx. Então
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C_2 = \ln|\operatorname{sen} x| + C_2.
Com o sinal negativo:
-\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,dx = -\ln|\operatorname{sen} x| + C_3,
onde C_3 é constante de integração (combinando constantes).
Igualando as duas expressões:
\ln|y| = -\ln|\operatorname{sen} x| + C,
onde C é uma constante arbitrária.
Exponenciando ambos os lados para isolar y:
|y| = e^{C}\,|\operatorname{sen} x|^{-1}.
Escrevendo C_0=e^{C} (constante positiva) e permitindo que o sinal seja absorvido por uma constante real C (positiva ou negativa), obtemos a solução geral
y(x)=\frac{C}{\operatorname{sen} x},
onde C\in\mathbb{R}. Note que C=0 dá a solução trivial y\equiv0.

Passo 4

Resolução pelo fator integrante (confirmação e interpretação).
Forma padrão já vista:
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=0,\qquad p(x)=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}.
O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,dx\right).
Usando a substituição u=\operatorname{sen} x novamente, tem-se \int \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\,dx=\ln|\operatorname{sen} x|. Então
\mu(x)=\exp(\ln|\operatorname{sen} x|)=|\operatorname{sen} x|.
Multiplicando a equação original por \mu(x) (assumindo \operatorname{sen} x\neq0) transforma o lado esquerdo em uma derivada exata:
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=0.
Logo
\frac{d}{dx}\big(|\operatorname{sen} x|\,y\big)=0\quad\Rightarrow\quad |\operatorname{sen} x|\,y=C,
onde C é constante. Novamente obtemos
y=\frac{C}{|\operatorname{sen} x|},
e absorvendo sinais na constante C podemos escrever de maneira mais simples
y=\frac{C}{\operatorname{sen} x},
que coincide com a solução obtida por separação.

Passo 5

Observações finais e domínio:
  • A solução geral é
y(x)=\frac{C}{\operatorname{sen} x},\qquad C\in\mathbb{R},
incluindo C=0 que dá y\equiv0.
  • Essa expressão só faz sentido quando \operatorname{sen} x\neq0, i.e., para x\notin\{k\pi:\\ k\in\mathbb{Z}\}. Em torno de pontos onde \operatorname{sen} x=0 deve-se tratar soluções em intervalos separados (intervalos onde \sin x mantém o mesmo sinal).
  • Conclusão: os dois métodos (separação e fator integrante) dão a mesma solução; escolha do método fica a critério — separação é mais direta aqui, fator integrante é o procedimento padrão para equações lineares.

Resposta

Equação diferencial de primeira ordem, linear homogênea (também separável).
y(x)=\dfrac{C}{\operatorname{sen} x},\\ C\in\mathbb{R} (válida para x\notin\{k\pi:\\ k\in\mathbb{Z}\}).

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