Logo o quociente fica \frac{0-0}{0}, isto é, a forma indeterminada 0/0. Quando aparece 0/0 podemos usar técnicas como séries de Taylor (expansões para termos pequenos) ou a regra de L’Hôpital. Vou usar uma abordagem com mudança de variável + expansão (é explícita e intuitiva) e depois faço uma verificação rápida com L’Hôpital para confirmar.
Passo 3
Faço a mudança de variável h = x-\pi. Assim x=\pi+h e h\to0 quando x\to\pi. Reescrevo as partes da expressão em função de h:
\ln\!\left(1+\frac{h}{\pi}\right)+\sin\!\left(\frac{h}{2}\right) =\left(\frac{h}{\pi}+\frac{h}{2}\right)+\underbrace{\left(-\frac{h^{2}}{2\pi^{2}}+O(h^{3})\right)}_{\text{termos de ordem }h^{2}\text{ ou maiores}}.
Ao levar h\to0, os termos O(h) e O(h^{2}) vão a zero, portanto o limite é
-\left(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}\right).
Passo 6
Verificação rápida usando a regra de L’Hôpital (só para confirmar; não muda o raciocínio):
Temos forma 0/0 e as funções são diferenciáveis perto de \pi, então