21¹ Questão Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow \pi} \frac{\ln \left(\frac{x}{\pi}\right)-\cos \left(\frac{x}{2}\right)}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\pi}\frac{\ln\!\left(\frac{x}{\pi}\right)-\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\operatorname{sen}(x)}.
Informações dadas importantes:
  • A função no numerador é \ln\!\left(\frac{x}{\pi}\right)-\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • O denominador é \operatorname{sen}(x) (i.e. \sin x).
  • O ponto de aproximação é x\to\pi.
    O que é pedido: o valor do limite (se existir).

Passo 2

Testo a substituição direta para ver se dá um valor definido ou uma forma indeterminada.
\ln\!\left(\frac{\pi}{\pi}\right)=\ln(1)=0, \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, \qquad \sin(\pi)=0.
Logo o quociente fica \frac{0-0}{0}, isto é, a forma indeterminada 0/0. Quando aparece 0/0 podemos usar técnicas como séries de Taylor (expansões para termos pequenos) ou a regra de L’Hôpital. Vou usar uma abordagem com mudança de variável + expansão (é explícita e intuitiva) e depois faço uma verificação rápida com L’Hôpital para confirmar.

Passo 3

Faço a mudança de variável h = x-\pi. Assim x=\pi+h e h\to0 quando x\to\pi. Reescrevo as partes da expressão em função de h:
\ln\!\left(\frac{x}{\pi}\right)=\ln\!\left(1+\frac{h}{\pi}\right),
e uso identidades trigonométricas para simplificar os cossenos e senos:
\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi+h}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{h}{2}\right)=-\sin\!\left(\frac{h}{2}\right),
\sin(x)=\sin(\pi+h)=-\sin(h).
Portanto a expressão do limite fica
\lim_{h\to0}\frac{\ln\!\left(1+\frac{h}{\pi}\right)-\big(-\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)\big)}{-\sin(h)} = \lim_{h\to0}\frac{\ln\!\left(1+\frac{h}{\pi}\right)+\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{-\sin(h)}.

Passo 4

Aplico as expansões em série (Taylor) ao redor de 0 para funções simples. Estas são fórmulas básicas que devo usar:
  • Para \ln(1+u), quando u é pequeno:
\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+O(u^{3}).
Aqui u=\frac{h}{\pi}.
  • Para \sin v, quando v é pequeno:
\sin v = v - \frac{v^{3}}{6}+O(v^{5}).
Vou usar apenas os termos necessários até ordem h ou h^{2} para ver o comportamento dominante.
Calculo as expansões dos termos do numerador:
\ln\!\left(1+\frac{h}{\pi}\right)=\frac{h}{\pi}-\frac{1}{2}\left(\frac{h}{\pi}\right)^{2}+O(h^{3}),
\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)=\frac{h}{2}-\frac{1}{6}\left(\frac{h}{2}\right)^{3}+O(h^{5}) =\frac{h}{2}+O(h^{3}).
Some-os no numerador:
\ln\!\left(1+\frac{h}{\pi}\right)+\sin\!\left(\frac{h}{2}\right) =\left(\frac{h}{\pi}+\frac{h}{2}\right)+\underbrace{\left(-\frac{h^{2}}{2\pi^{2}}+O(h^{3})\right)}_{\text{termos de ordem }h^{2}\text{ ou maiores}}.
O denominador com expansão:
-\sin(h)=-(h-\frac{h^{3}}{6}+O(h^{5}))=-h+O(h^{3}).

Passo 5

Como tanto numerador quanto denominador têm fator h em comum no termo dominante, fatoro h e simplifico:
\frac{\ln\!\left(1+\frac{h}{\pi}\right)+\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{-\sin(h)} = \frac{h\left(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}+O(h)\right)}{-h\left(1+O(h^{2})\right)} = -\left(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}+O(h)\right)\cdot\frac{1}{1+O(h^{2})}.
Ao levar h\to0, os termos O(h) e O(h^{2}) vão a zero, portanto o limite é
-\left(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}\right).

Passo 6

Verificação rápida usando a regra de L’Hôpital (só para confirmar; não muda o raciocínio):
Temos forma 0/0 e as funções são diferenciáveis perto de \pi, então
\lim_{x\to\pi}\frac{\ln\!\left(\frac{x}{\pi}\right)-\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin x} = \lim_{x\to\pi}\frac{\dfrac{d}{dx}\left[\ln\!\left(\frac{x}{\pi}\right)-\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\right]}{\dfrac{d}{dx}[\sin x]}.
Derivo numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\ln\!\left(\frac{x}{\pi}\right)=\frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\big(-\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\big)=\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right), \qquad \frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Assim o limite vira
\lim_{x\to\pi}\frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\cos x} =\frac{\dfrac{1}{\pi}+\dfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)}{\cos\pi} =\frac{\dfrac{1}{\pi}+\dfrac{1}{2}\cdot 1}{-1} = -\left(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}\right),
confirmando o resultado obtido pela expansão.

Resposta

-\left(\dfrac{1}{\pi}+\dfrac{1}{2}\right)

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