Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a ser integrada é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, encontrar uma função
tal que . - Não esquecer da constante de integração
.
Passo 2
Observação útil sobre a expressão interna: a expressão
é um trinômio que pode ser reconhecido como um quadrado perfeito. Vamos mostrar isso de forma direta:
Ou seja, podemos reescrever a integranda como
.
Passo 3
Simplificação da integranda usando o resultado do passo anterior:
Portanto a integral se torna
Passo 4
Método prático: substituição simples. Definimos uma nova variável para deixar a integral na forma padrão. Seja
Aqui
é apenas uma notação nova para a expressão
. Diferenciando,
pois a derivada de
em relação a
é
. Assim
é igual a
.
Passo 5
Com a substituição
a integral fica
Agora usamos a regra de potência para integrais: para
,
Essa fórmula vem do fato de que a derivada de
é
(pela regra da potência na diferenciação).
Passo 6
Aplicando a regra com
,
Passo 7
Voltando à variável original
(substiuindo
),
Passo 8
Verificação por diferenciação (checagem rápida): diferenciando a resposta obtemos
logo está correto (pela regra da cadeia: derivada de
é
vezes a derivada interna
).
Passo 9
Comentário extra útil para prova: você também poderia expandir
usando o binômio de Newton,
e integrar termo a termo. O resultado seria
que difere de
apenas por uma constante (o que é normal, pois primitivas são únicas até constante). Na prova, reconhecer o quadrado perfeito e usar a substituição
é bem mais rápido.