Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(x^{2}+2 x+1\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+2 x+1\right)^{2} dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a ser integrada é \left(x^{2}+2 x+1\right)^{2}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\left(x^{2}+2 x+1\right)^{2}.
  • Não esquecer da constante de integração C.

Passo 2

Observação útil sobre a expressão interna: a expressão x^{2}+2x+1 é um trinômio que pode ser reconhecido como um quadrado perfeito. Vamos mostrar isso de forma direta:
(x+1)^{2} = x^{2} + 2x + 1.
Ou seja, podemos reescrever a integranda como \left(x^{2}+2x+1\right)^{2} = \big((x+1)^{2}\big)^{2}.

Passo 3

Simplificação da integranda usando o resultado do passo anterior:
\big((x+1)^{2}\big)^{2} = (x+1)^{4}.
Portanto a integral se torna
\int (x+1)^{4} dx.

Passo 4

Método prático: substituição simples. Definimos uma nova variável para deixar a integral na forma padrão. Seja
u = x+1.
Aqui u é apenas uma notação nova para a expressão x+1. Diferenciando,
du = dx,
pois a derivada de x+1 em relação a x é 1. Assim dx é igual a du.

Passo 5

Com a substituição u=x+1 a integral fica
\int (x+1)^{4} dx = \int u^{4} du.
Agora usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n} du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Essa fórmula vem do fato de que a derivada de \frac{u^{n+1}}{n+1} é u^{n} (pela regra da potência na diferenciação).

Passo 6

Aplicando a regra com n=4,
\int u^{4} du = \frac{u^{5}}{5} + C.

Passo 7

Voltando à variável original x (substiuindo u=x+1),
\int (x+1)^{4} dx = \frac{(x+1)^{5}}{5} + C.

Passo 8

Verificação por diferenciação (checagem rápida): diferenciando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{(x+1)^{5}}{5}\right) = \frac{5(x+1)^{4}\cdot 1}{5} = (x+1)^{4} = \left(x^{2}+2x+1\right)^{2},
logo está correto (pela regra da cadeia: derivada de (x+1)^{5} é 5(x+1)^{4} vezes a derivada interna 1).

Passo 9

Comentário extra útil para prova: você também poderia expandir (x+1)^{4} usando o binômio de Newton,
(x+1)^{4} = x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1,
e integrar termo a termo. O resultado seria
\frac{x^{5}}{5}+x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x + C,
que difere de \dfrac{(x+1)^{5}}{5}+C apenas por uma constante (o que é normal, pois primitivas são únicas até constante). Na prova, reconhecer o quadrado perfeito e usar a substituição u=x+1 é bem mais rápido.

Resposta

\displaystyle \frac{(x+1)^{5}}{5}+C

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