Diz se que uma matriz (real ou complexa) é positiva, se vista como um operador linear em for positivo. (Uma definição análoga define uma matriz definida positiva.) Demonstre que é positiva (definida positiva) se, e somente se, e
(x1, ldots, xn) in K^n
para quaisquer .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre “A é um operador positivo (resp. definida positiva) em Kⁿ” e as duas condições “a_{ij} = \overline{a_{ji}}” e “∑_{i,j=1}^n a_{ij} x_j \overline{x_i} ≥ 0 (resp. >0) para todo x ∈ Kⁿ”. Vamos usar a definição de operador positivo e a forma quadrática associada.
Passo 2
Primeiro, suponha que A seja operador positivo. Por definição, para todo vetor x ∈ Kⁿ vale
lang<= A x, xrang<= ;=; sumi=1^n (A x)i xi ;=; sumi,j=1^n aij,xj,xi ;>=;0
Isso mostra imediatamente a condição sumi,jaijxjxi >=0.
Passo 3
Para ver que A é Hermitiana (aij=aji), note que para todo par (i,j) podemos escolher o vetor
x=ei + i,ej,
onde e_i, e_j são vetores canônicos. Então
Q(x)=lang<= A x,xrang<= = aii+i,aij-i,aji+ajj
deve ser real. Isso força
Passo 4
Agora, suponha que aij=aji e que para todo x em Kⁿ