Diz se que uma matriz n times n (real ou complexa) A é positiva, se K^n vista como um operador linear em A for positivo. (Uma definição análoga define uma matriz definida positiva.) Demonstre que ai j=aj i é positiva (definida positiva) se, e somente se, sumi, j=1^n ai j xj xi >= 0(>0) e
(x1, ldots, xn) in K^n
para quaisquer .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre “A é um operador positivo (resp. definida positiva) em Kⁿ” e as duas condições “a_{ij} = \overline{a_{ji}}” e “∑_{i,j=1}^n a_{ij} x_j \overline{x_i} ≥ 0 (resp. >0) para todo x ∈ Kⁿ”. Vamos usar a definição de operador positivo e a forma quadrática associada.

Passo 2

Primeiro, suponha que A seja operador positivo. Por definição, para todo vetor x ∈ Kⁿ vale
lang<= A x, xrang<= ;=; sumi=1^n (A x)i xi ;=; sumi,j=1^n aij,xj,xi ;>=;0
Isso mostra imediatamente a condição sumi,jaijxjxi >=0.

Passo 3

Para ver que A é Hermitiana ( aij=aji), note que para todo par (i,j) podemos escolher o vetor
x=ei + i,ej,
onde e_i, e_j são vetores canônicos. Então
Q(x)=lang<= A x,xrang<= = aii+i,aij-i,aji+ajj
deve ser real. Isso força

Passo 4

Agora, suponha que aij=aji e que para todo x em Kⁿ
$$
Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_j\overline{x_i}\ge0 Q(x)=sumi,j=1^n aijxjxi>=0
\langle A x,x\rangle = Q(x),
$$
segue-se diretamente que A é um operador positivo (resp. positiva definida) segundo a definição.

Resposta

Concluímos que A é positiva (resp. definida positiva) se, e somente se, ela for Hermitiana ( aij=aji) e satisfizer
sumi,j=1^n aij,xj,xi >= 0(>0 se definida positiva)
para todo vetor xin K^n.

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