Para cada um dos subconjuntos B subset X abaixo, determine uma base S(X) e a dimensão do subespaço X gerado por E=R^3, n=6, u1=(0,-1,0), u2=(1,3,4), u3=(1,2,4), u4=(-1,-4,-4), u5=(5,12,20) :
u6=(4,8,16),

Passo 1

O enunciado dá um conjunto de 6 vetores em R^3:
Bsubset X
Precisamos achar um subconjunto S(X) que seja base de dim S(X) e determinar . O conteúdo é dependência linear, base e dimensão.

Passo 2

Começamos montando iterativamente uma base: primeiro, u1neq(0,0,0), então u1 é L.I. Em seguida, verificamos u2 em relação a u1: não há escalar lambda tal que lambda u1 = u2 (porque u1 tem componente x=0 e u2 tem x=1), logo u1,u2 é L.I.

Passo 3

Para cada vetor ui, i=3,4, testamos se está em resolvendo Spanu1,u2:
  • Para a u1 + b u2 = ui, trocando, achamos u3=(1,2,4), logo a=1,b=1.
  • Para u3 = u1 + u2, achamos u4=(-1,-4,-4), logo a=1,b=-1.
    Portanto, u4 = u1 - u2 e u3 são dependentes de u4.

Passo 4

Fazemos o mesmo para u5 e u6:
  • u5=(5,12,20) satisfaz 3u1 + 5u2 = u5.
  • u6=(4,8,16) satisfaz 4u1 + 4u2 = u6.
    Logo todos pertencem a .

Passo 5

Concluímos que u1 e u2 são L.I., geram todos os outros vetores de X e formam uma base de S(X).

Resposta

A base pode ser B=u1,u2 e dim S(X)=2.

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