f(x, y, t)=x^2-t^21+sen 3 y
& fx(x, y, t)=2 x1+sen 3 y fy(x, y, t)=-3 cos (3 y) cdot(x^2-t^2)(1+sen 3 y)^2 & ft(x, y, t)=-2 t1+sen 3 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de três variáveis: . O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de fx = du/dx cdot v - u cdot dv/dxv^2 em relação a fx = du/dxv = 2x1 + sen(3y) , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos e como constantes.
A função pode ser vista como , onde:
A derivada de em relação a é então:
Mas como não depende de , . Então, simplificamos para:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de fy = du/dy cdot v - u cdot dv/dyv^2 em relação a fy = -u cdot dv/dyv^2 = -(x^2 - t^2) cdot ddy(1 + sen(3y))(1 + sen(3y))^2 , ou seja, ddy(1 + sen(3y)) = 3 cos(3y) . Aqui, fy = -3 cos(3y) cdot (x^2 - t^2)(1 + sen(3y))^2 e são considerados constantes.
Usando a mesma notação , onde:
Aplicamos a regra da derivada de uma fração:
Como não depende de , . Assim, temos:
Calculando :
Substituindo de volta:

Passo 4

Por último, vamos determinar a derivada parcial de ft = du/dt cdot v - u cdot dv/dtv^2 em relação a ft = du/dtv = -2t1 + sen(3y) , ou seja, . Aqui, e são tratados como constantes.
Novamente, com , onde:
Aplicamos a regra da derivada de uma fração:
Como não depende de , . Então, simplificamos para:

Resposta

As derivadas parciais da função fx(x, y, t) = 2x1 + sen(3y) são:

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