Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de três variáveis: . O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
e
como constantes.
A função
pode ser vista como
, onde:
A derivada de
em relação a
é então:
Mas como
não depende de
,
. Então, simplificamos para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
e
são considerados constantes.
Usando a mesma notação
, onde:
Aplicamos a regra da derivada de uma fração:
Como
não depende de
,
. Assim, temos:
Calculando
:
Substituindo de volta:
Passo 4
Por último, vamos determinar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
e
são tratados como constantes.
Novamente, com
, onde:
Aplicamos a regra da derivada de uma fração:
Como
não depende de
,
. Então, simplificamos para:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: