Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com função de posição
. Determine
sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move ao longo do eixo
com uma função de posição
. A equação que descreve o movimento dessa partícula é
. Além disso, sabemos que no tempo
, a velocidade
e a posição inicial
. Vamos resolver isso passo a passo usando cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação
representa. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que relaciona a aceleração (
) da partícula com o tempo
. Nosso objetivo é encontrar a função posição
que satisfaz essa equação.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos integrar a expressão da aceleração para encontrar a velocidade
e, em seguida, integrar a velocidade para encontrar a posição
.
Primeiro, integramos a aceleração:
A integral de
em relação a
é
, então:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial da velocidade.
Passo 4
Sabemos que a velocidade no tempo
é
. Vamos usar isso para encontrar
:
Resolvendo para
:
Então, a função da velocidade fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar a função da velocidade para encontrar a posição
:
Integrando cada termo:
Aqui,
é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.
Passo 6
Sabemos que a posição no tempo
é
. Vamos usar isso para encontrar
:
Resolvendo para
:
Então, a função da posição fica:
Resposta
A função posição da partícula é: