Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = x(t), t ≥ 0. Determine x = x(t) sabendo que
d^2x/dt^2 = e^(-t), v(0) = 0 e x(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move ao longo do eixo com uma função de posição . A equação que descreve o movimento dessa partícula é . Além disso, sabemos que no tempo , a velocidade e a posição inicial . Vamos resolver isso passo a passo usando cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação representa. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que relaciona a aceleração ( ) da partícula com o tempo . Nosso objetivo é encontrar a função posição que satisfaz essa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos integrar a expressão da aceleração para encontrar a velocidade e, em seguida, integrar a velocidade para encontrar a posição .
Primeiro, integramos a aceleração:
A integral de em relação a é , então:
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial da velocidade.

Passo 4

Sabemos que a velocidade no tempo é . Vamos usar isso para encontrar :
Resolvendo para :
Então, a função da velocidade fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar a função da velocidade para encontrar a posição :
Integrando cada termo:
Aqui, é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.

Passo 6

Sabemos que a posição no tempo é . Vamos usar isso para encontrar :
Resolvendo para :
Então, a função da posição fica:

Resposta

A função posição da partícula é:

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