f(x, y, z)=x cdot y cdot z cdot e^x cdot y cdot z
fx(x, y, z)=y cdot z cdot e^x cdot y cdot z+x cdot y^2 cdot z^2 cdot e^x cdot y cdot z
& fy(x, y, z)=x cdot z cdot e^x cdot y cdot z+x^2 cdot y cdot z^2 cdot e^x cdot y cdot z & fz(x, y, z)=x cdot y cdot e^x cdot y cdot z+x^2 cdot y^2 cdot z cdot e^x cdot y cdot z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as derivadas parciais da função . Isso está relacionado ao estudo de cálculo multivariável, especificamente à diferenciação de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de fx = partialpartial x(u cdot v) = u cdot partial vpartial x + v cdot partial upartial x em relação a , que chamaremos de . Quando derivamos em relação a , tratamos e como constantes.
A função pode ser vista como o produto de duas funções: e . Então, usando a regra do produto:

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de partial vpartial x = partialpartial x(e^x cdot y cdot z) = y cdot z cdot e^x cdot y cdot z em relação a partial upartial x = partialpartial x(x cdot y cdot z) = y cdot z :
Agora, a derivada de em rela�o a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão original de fx = u cdot partial vpartial x + v cdot partial upartial x = (x cdot y cdot z) cdot (y cdot z cdot e^x cdot y cdot z) + e^x cdot y cdot z cdot (y cdot z) :
fx = y cdot z cdot e^x cdot y cdot z + x cdot y^2 cdot z^2 cdot e^x cdot y cdot z
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de fy = partialpartial y(x cdot y cdot z cdot e^x cdot y cdot z) em relação a fy = x cdot z cdot e^x cdot y cdot z + x^2 cdot y cdot z^2 cdot e^x cdot y cdot z , ou seja, . Seguindo o mesmo procedimento:
Usamos novamente a regra do produto:

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial de fz = partialpartial z(x cdot y cdot z cdot e^x cdot y cdot z) em relação a fz = x cdot y cdot e^x cdot y cdot z + x^2 cdot y^2 cdot z cdot e^x cdot y cdot z , ou seja, :
Aplicando a regra do produto:

Resposta

As derivadas parciais da função fx(x, y, z)=y cdot z cdot e^x cdot y cdot z + x cdot y^2 cdot z^2 cdot e^x cdot y cdot z são:
fy(x, y, z)=x cdot z cdot e^x cdot y cdot z + x^2 cdot y cdot z^2 cdot e^x cdot y cdot z
fz(x, y, z)=x cdot y cdot e^x cdot y cdot z + x^2 cdot y^2 cdot z cdot e^x cdot y cdot z

Exercícios relacionados