Prove que |x| não é derivável em x0=0. nexists lim x 0 |x|x

Passo 1

Vamos lá! O que a gente precisa provar é que a função não tem derivada no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada e calcular o limite que define essa derivada. Vamos precisar entender como a derivada funciona e como calcular limites.

Passo 2

A derivada de uma função f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h em um ponto f'(0) = limh to 0 |0 + h| - |0|h = limh to 0 |h|h é definida pelo limite:
No nosso caso, e . Então, a derivada seria:

Passo 3

Agora, vamos analisar esse limite |h|h = hh = 1 separadamente pelos dois lados de zero:
  1. Quando |h|h = -hh = -1 se aproxima de 0 pela direita (positiva):
    Se , então . Então:
  2. Quando se aproxima de 0 pela esquerda (negativa):
    Se , então . Então:

Passo 4

Observamos que os limites pelos dois lados são diferentes:
  • Pela direita, o limite é 1.
  • Pela esquerda, o limite é -1.
Como esses dois valores não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

Portanto, não é derivável em porque o limite não existe.

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