Prove que
não é derivável em
.
Passo 1
Vamos lá! O que a gente precisa provar é que a função
não tem derivada no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada e calcular o limite que define essa derivada. Vamos precisar entender como a derivada funciona e como calcular limites.
Passo 2
A derivada de uma função
em um ponto
é definida pelo limite:
No nosso caso,
e
. Então, a derivada seria:
Passo 3
Agora, vamos analisar esse limite
separadamente pelos dois lados de zero:
-
Quando
se aproxima de 0 pela direita (positiva): Se, então . Então: -
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda (negativa): Se, então . Então:
Passo 4
Observamos que os limites pelos dois lados são diferentes:
- Pela direita, o limite é 1.
- Pela esquerda, o limite é -1.
Como esses dois valores não são iguais, o limite geral
não existe.
Resposta
Portanto,
não é derivável em
porque o limite
não existe.