22 [ 155819 ]. (Enade 2011) Em um plano de coordenadas cartesianas x O y, representa-se uma praça de área P , que possui em seu interior um lago de área L , limitado por uma curva C fechada, suave, orientada no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio. Considere que, sobre o lago, atua um campo de forças F(x, y)=-y \vec{i}+x \vec{j}. Supondo que T representa o trabalho realizado por F(x, y) para mover uma partícula uma vez ao longo da curva C e que, comparando-se apenas os valores numéricos das grandezas, a área não ocupada pelo lago é igual a \frac{T}{2}, conclui-se que
a) \mathrm{P}=\mathrm{T}.
b) \mathrm{T}=\mathrm{L}.
c) \mathrm{P}=2 \mathrm{~T}.
d) \mathrm{T}=4 \mathrm{~L}.
e) P=4 L.

Passo 1

O enunciado descreve uma curva fechada C, orientada positivamente (sentido anti-horário), que limita um lago de área L. No lago atua o campo de força
F(x,y) = -y\,\vec{i} + x\,\vec{j},
e o trabalho para percorrer C uma vez é
T = \oint_C F\cdot d\vec r.
Além disso, sabe-se que a área não ocupada pelo lago (ou seja, P - L) é numericamente igual a T/2. O conteúdo principal para resolver é o Teorema de Green.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
\oint_C (-y\,dx + x\,dy) = \iint_{D}\!\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}(x)\;-\;\frac{\partial}{\partial y}(-y)\Bigr)\,dA,
onde D é a região interna (o lago). Como \partial_x(x)=1 e \partial_y(-y)=-1, o integrando é 1-(-1)=2. Logo,
T = \oint_C F\cdot d\vec r = \iint_{D} 2\,dA = 2\iint_{D} dA = 2L.

Passo 3

Agora use a condição dada:
P - L = \frac{T}{2}.
Substituindo T=2L temos
P - L = \frac{2L}{2} = L \quad\Longrightarrow\quad P = 2L.

Passo 4

Como T=2L e também P=2L, concluímos que
P = T.

Resposta

a) P = T.

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