22 [ 155819 ]. (Enade 2011) Em um plano de coordenadas cartesianas
, representa-se uma praça de área P , que possui em seu interior um lago de área L , limitado por uma curva C fechada, suave, orientada no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio. Considere que, sobre o lago, atua um campo de forças
. Supondo que
representa o trabalho realizado por
para mover uma partícula uma vez ao longo da curva
e que, comparando-se apenas os valores numéricos das grandezas, a área não ocupada pelo lago é igual a
, conclui-se que
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado descreve uma curva fechada
, orientada positivamente (sentido anti-horário), que limita um lago de área
. No lago atua o campo de força
e o trabalho para percorrer
uma vez é
Além disso, sabe-se que a área não ocupada pelo lago (ou seja,
) é numericamente igual a
. O conteúdo principal para resolver é o Teorema de Green.
Passo 2
Pelo Teorema de Green,
onde
é a região interna (o lago). Como
e
, o integrando é
. Logo,
Passo 3
Agora use a condição dada:
Substituindo
temos
Passo 4
Como
e também
, concluímos que
Resposta
a)
.