Considere os subespaços de
Ache uma base de
e
, dê a dimensão de cada um e diga qual é soma direta.
Passo 1
O enunciado dá três subespaços de
definidos por equações lineares:
Precisamos achar base e dimensão de ,
, das somas
e
, e das interseções
e
, e dizer quais somas são diretas.
Precisamos achar base e dimensão de
Passo 2
Para
, a equação
dá
. Parametrizando
,
temos
Logo uma base de
é
e
.
Passo 3
Para
, a equação
dá
. Parametrizando
,
segue
Logo uma base de
é
e
.
Passo 4
Em
, temos
e
, sobrando só
. Assim
logo uma base de
é
e
.
Passo 5
Para
Da segunda vem
. Logo
de onde uma base de
é
e
.
Passo 6
Para
, exigimos
,
e
. Isto dá
, logo só o vetor nulo. Assim
e a base é o conjunto vazio.
Passo 7
Para
, podemos tomar a união das bases de
e
e eliminar dependências. Por exemplo
é linearmente independente em
. Como
concluímos que
,
e, como
, não é soma direta.
Passo 8
Para
, unimos as bases de
e
: por exemplo
. Como
temos
,
e, como
, é soma direta.
Resposta
V: base
,
W: base ,
: base
,
, não é soma direta
: base
,
, é soma direta
U V: dimensão
, base vazia
V W: base
,
W: base
U
V