Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3}
\begin{aligned} V & =\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y-z=0\right\} \\\ W & =\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x-y=0\right\} \\\ U & =\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: y=z=0\right\} \end{aligned}
Ache uma base de V, W, V+W, U+V, U \cap V e V \cap W, dê a dimensão de cada um e diga qual é soma direta.

Passo 1

O enunciado dá três subespaços de \mathbb{R}^3 definidos por equações lineares:
\;V=\{(x,y,z)\mid x+y-z=0\},\;W=\{(x,y,z)\mid 2x-y=0\},\;U=\{(x,y,z)\mid y=0,\;z=0\}.
Precisamos achar base e dimensão de V, W, das somas V+W e U+V, e das interseções U\cap V e V\cap W, e dizer quais somas são diretas.

Passo 2

Para V, a equação x+y-z=0 z=x+y. Parametrizando x=s, y=t temos
(x,y,z)=(s,t,s+t)=s\,(1,0,1)+t\,(0,1,1).
Logo uma base de V é
\{(1,0,1),\;(0,1,1)\},
e \dim(V)=2.

Passo 3

Para W, a equação 2x-y=0 y=2x. Parametrizando x=s, z=t segue
(x,y,z)=(s,2s,t)=s\,(1,2,0)+t\,(0,0,1).
Logo uma base de W é
\{(1,2,0),\;(0,0,1)\},
e \dim(W)=2.

Passo 4

Em U, temos y=0 e z=0, sobrando só x. Assim
(x,y,z)=(x,0,0)=x\,(1,0,0),
logo uma base de U é
\{(1,0,0)\},
e \dim(U)=1.

Passo 5

Para V\cap W\), solucionamos simultaneamente \[\begin{cases} x+y-z=0,\\\\ 2x-y=0. \end{cases}
Da segunda vem y=2x\]. Substituindo na primeira, \(z=x+y=3x. Logo
(x,y,z)=x\,(1,2,3),
de onde uma base de V\cap W é
\{(1,2,3)\},
e \dim(V\cap W)=1.

Passo 6

Para U\cap V, exigimos y=0, z=0 e x+y-z=0. Isto dá x=0, logo só o vetor nulo. Assim
\dim(U\cap V)=0 e a base é o conjunto vazio.

Passo 7

Para V+W, podemos tomar a união das bases de V e W e eliminar dependências. Por exemplo
\{(1,0,1),\,(0,1,1),\,(1,2,0)\} é linearmente independente em \mathbb{R}^3. Como
\dim(V+W)=\dim(V)+\dim(W)-\dim(V\cap W)=2+2-1=3,
concluímos que V+W=\mathbb{R}^3, \dim(V+W)=3 e, como V\cap W\neq\{0\}, não é soma direta.

Passo 8

Para U+V, unimos as bases de U e V: por exemplo
\{(1,0,0),\,(1,0,1),\,(0,1,1)\}. Como
\dim(U+V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U\cap V)=1+2-0=3,
temos U+V=\mathbb{R}^3, \dim(U+V)=3 e, como U\cap V=\{0\}, é soma direta.

Resposta

V: base \{(1,0,1),(0,1,1)\}, \dim(V)=2
W: base \{(1,2,0),(0,0,1)\}, \dim(W)=2 V+W: base \{(1,0,1),(0,1,1),(1,2,0)\}, \dim(V+W)=3, não é soma direta
U+V: base \{(1,0,0),(1,0,1),(0,1,1)\}, \dim(U+V)=3, é soma direta
U \capV: dimensão 0, base vazia
V \capW: base \{(1,2,3)\}, \dim(V\cap W)=1

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