Seja V espaço vetorial com produto interno. Mostre que se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial
com produto interno
, se vale
então necessariamente
. Vamos usar as propriedades de linearidade e de positividade (definitude) do produto interno.
Passo 2
Definamos o vetor
. Subtraindo
de ambos os lados da hipótese, obtemos
Pela linearidade no segundo argumento (ou no primeiro, dependendo da convenção), isso implica
Passo 3
Escolhendo
na identidade acima, vem
Mas uma das propriedades fundamentais do produto interno é a positividade definida:
Logo
, isto é,
.
Resposta
Concluímos que
.