Seja V espaço vetorial com produto interno. Mostre que se \langle u, v\rangle=\langle u, w\rangle, \forall u \in V \Rightarrow v=w.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial V com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle, se vale
\langle u, v\rangle = \langle u, w\rangle \quad\forall\,u\in V,
então necessariamente v=w. Vamos usar as propriedades de linearidade e de positividade (definitude) do produto interno.

Passo 2

Definamos o vetor z = v - w. Subtraindo \langle u,w\rangle de ambos os lados da hipótese, obtemos
\langle u,v\rangle - \langle u,w\rangle = 0 \quad\forall\,u\in V.
Pela linearidade no segundo argumento (ou no primeiro, dependendo da convenção), isso implica
\langle u,\,v - w\rangle = \langle u,z\rangle = 0 \quad\forall\,u\in V.

Passo 3

Escolhendo u=z na identidade acima, vem
\langle z,z\rangle = 0.
Mas uma das propriedades fundamentais do produto interno é a positividade definida:
\langle z,z\rangle = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z = 0.
Logo z = v-w = 0, isto é, v=w.

Resposta

Concluímos que v=w.

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